NOIP2016 换教室 期望dp,阅读理解 【例题详解】

Description

对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节

课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先

被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完

成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个

时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛

发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率

是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。

这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申

请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因

为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。牛牛所在

的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,

通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一

条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体

力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。

 

　　对于这个题来说呢，你把题目读明白了，就成功了一般，乍一看图论套dp还是期望的，一脸不可做，其实发现这就是最原始的期望dp，只不过方程长了点~

　　首先我们设f[i][j][1/0]为前i个时间段，申请换教室j次，最近一次是/否申请了的期望，注意是是否申请了，并不是一定成功了。

　　我们得到这样一个方程：

　　f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+w[c[i-1]][c[i]],f[i-1][j][1]+w[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+w[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i-1]));

　　f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+w[c[i-1]][d[i]]*k[i]+w[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i]),f[i-1][j-1][1]+w[d[i-1]][d[i]]*k[i]*k[i-1]+w[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1.0-k[i])+w[c[i-1]][d[i]]*(1.0-k[i-1])*k[i]+w[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i])*(1.0-k[i-1]));

　　是不是第一眼觉得长的不堪入目？其实这就是本题最大的特点，考虑的情况多。首先考虑这次不申请，于是有以下几种状态可向它转移，首先是上次就没申请，其次是上次申请了，可分为上次申请成功了这次要换回来，上次申请失败了留在了这个教室。

　　考虑这次申请，可向其转移的情况就更多了，首先上次没申请，又分为这次申请成功了和失败了，其次是上次申请了，又分为上次成功这次成功，上次成功这次失败，上次失败这次成功和上次失败这次失败。。。。（好恶心）。

 

可不讲了，noip遇到这种题最重要就是要冷静。。。。

下面上代码！！：

#include<string>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=2005,inf=0x3fffffff;
int n,m,v,e,c[MAXN],d[MAXN],x,y;double z;
double k[MAXN],f[MAXN][MAXN][2],w[MAXN][MAXN];
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&k[i]);
    for(int i=1;i<=v;i++)
    for(int j=1;j<=v;j++) w[i][j]=inf;
    for(int i=1;i<=e;i++){
        scanf("%d%d%lf",&x,&y,&z);
        if(w[x][y]==inf) w[x][y]=w[y][x]=z;
        else if(z<w[x][y]) w[x][y]=w[y][x]=z;
        w[x][x]=w[y][y]=0;
    } for(int h=1;h<=v;h++)
    for(int i=1;i<=v;i++)
    for(int j=1;j<=v;j++)
    if(i!=j&&i!=h&&j!=h&&
    w[i][h]+w[h][j]<w[i][j])
    w[i][j]=w[i][h]+w[h][j];
    for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=m;j++)
    f[i][j][0]=f[i][j][1]=inf;
    f[1][0][0]=f[1][1][1]=0.0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int lim=min(i,m);
        f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+w[c[i-1]][c[i]];
        for(int j=1;j<=lim;j++){
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]
            +w[c[i-1]][c[i]],f[i-1][j][1]
            +w[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+
            w[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i-1]));
            f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]
            +w[c[i-1]][d[i]]*k[i]+
            w[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i]),
            f[i-1][j-1][1]+w[d[i-1]][d[i]]
            *k[i]*k[i-1]+w[d[i-1]][c[i]]*
            k[i-1]*(1.0-k[i])+w[c[i-1]][d[i]]
            *(1.0-k[i-1])*k[i]+w[c[i-1]][c[i]]
            *(1.0-k[i])*(1.0-k[i-1]));
        }
    } double ans=2e8;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    ans=min(min(ans,f[n][i][0]),f[n][i][1]);
    printf("%.2lf",ans);return 0;
}