物理学（上） 复习
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第一章 质点运动学
1. 质点运动的描述，描述质点运动的几个基本物理量（如位移、速度、加速度、路程等）之间的相互关系。
注意矢量分解在物理研究中的重要意义.
运动学问题分为：
(1) 已知运动方程求运动状态；
(2) 已知运动状态求运动方程.
例 2 给了一个多元函数微分的，我还不是很理解（
冷静清晰地按照这些相互关系列出式子. 有一些关系不一定是解决问题的最佳途径，可以多仔细观察一下有没有别的表达形式. 困难的话记得分解.
求量的关系，可能是式子两边积分的对象是这两个量，也可能是积分上下限的关系，另一侧积出已知量，大概是这样.
2. 圆周运动的描述，圆周运动的特点
平面极坐标系 \((r,\theta)\)：\((x=r\cos\theta,y=r\sin\theta)\).
\(\Delta s=r\Delta\theta\). \(v=r\omega\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=r\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\).（切向加速度也可以用角速度表示）
运动质点地速度沿着其运动轨迹切线方向. 故提出切向单位矢量：\(\vec{e_t}\). 然后有 \(\vec{v}=v\vec{e_t}\).
运动加速度矢量可以自然分解为切向和法向.
\(\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{e_t}+v\frac{\mathrm{\vec{e_t}}}{\mathrm{d}t}\)
注意 \(\mathrm{d}\vec{e_t}\) 和 \(\vec{e_n}\) 是同向的，很神奇吧（
大小和方向可以分开讨论啊.
\(r\) 可以替换为曲率半径 \(\rho\) ，式子适用于一般的曲线运动.
3. 相对运动问题。会用伽利略速度（加速度）变换式分析相对运动问题。
一个质点相对于系 \(A\) 的速度，等于其相对系 \(B\) 的速度加上系 \(B\) 相对系 \(A\) 的速度（牵连速度）. 记作：
第二章 牛顿运动定律
将微积分方法与牛顿定律相结合， 求解一些简单的力学问题。
牛顿第一定律：\(\vec{F}=0\) 时，\(\vec{v}=常矢量\).
牛顿第二定律：\(\vec{F}=m\vec{a}=\frac{m\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\).
牛顿第三定律：\(\vec{F}=-\vec{F}'\)
注意可以将各矢量按照自然坐标系或者直角坐标系分解.
相互作用力（作用力和反作用力）作用在不同的物体上，同时产生，同时消失，并且一定属于同种性质的力.
伽利略相对性原理：所有惯性系中牛顿运动定律等价.
量纲：\(L\)，\(M\)，\(T\) 分别表示长度，质量，时间三个基本量的量纲. （\(\dim Q=L^pM^qT^s\)）
几种常见力：
万有引力：
\[\vec{F}=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\vec{e_r} \]重力：
\[\vec{P}=m\vec{g}\\ 当\ r\approx R\ (在地球表面)，可以联立万有引力式子作一些变换. \]弹性力：相关问题结合牛顿定律和微积分方法解决.
摩擦力：最大静摩擦力与物体正压力 \(F_n\) 成正比.
\[F_{f0max}=\mu_0F_n \] 滑动摩擦力也与物体正压力 \(F_n\) 成正比.
\[F_f=\mu F_n \]\(\mu\) 一般略小于 \(\mu_0\)，通常可以认为近似相等.
注意小角定理的使用. 二阶无穷小量（微元乘积）可以略去.
*积分记得上下界都要算（）别口胡把下界吞了. 注意题目询问的力作用的主体.
惯性力：在一个相对于惯性系加速度为 \(\vec{a_0}\) 的非惯性系内研究问题时，我们可以认为其中的研究对象有一个直观感受上比较架空的力，称为惯性力 \(\vec{F_i}=-m\vec{a_0}\).
第三章 动量守恒定律 和 能量守恒定律
1. 冲量的概念，冲量定理、动量定理、动量守恒定律及其应用
冲量：力对时间的积分，动量的增量（动量定理）.
\[\vec{I}=\Delta\vec{p}=\int_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F(t)}\mathrm{d}t \]
质点系动量定理：系统动量增量等于系统合外力冲量.
动量守恒定律：系统所受合外力为 \(0\) 时，系统总动量不变.（有时外力远小于内力时可以忽略外力作用）
*动量守恒定律在某一个方向分量上也成立.
注意：对惯性系，动量具有相对性，但是动量定理有不变性.
p58 例 2 那个题有点问题，就是不能用动能定理做. 挺神秘的，大概是因为内力的存在，每次增加到下部的部分并不能凭空获得速度v，不能把下部分隔离出来做. 中间是有能量的损失的。所以对系统使用动量定理，无需考虑内力的影响. 如果这道题改成链条平直放在桌面上就可以用动能定理.
2. 功的计算方法，保守力和非保守力的区别，保守力做功的特点。
功：力的线积分.
\[W=\int\mathrm{d}W=\int_A^B\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} \]符号为 \(W\)，单位为 \(J\)（焦耳）.
可以分解为每个分力所做功的代数和.
功率：
\[P=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v} \]符号为 \(P\)，单位为 \(W\)（瓦特）.
-
万有引力做功
\(W=-Gm_1m_2\int_{r_A}^{r_B}\frac{1}{r^2}\mathrm{d}r=Gm_1m_2(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A})\)
-
弹性力做功
\(W=-k\int_{x_1}^{x_2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}kx_1^2-\frac{1}{2}kx_2^2\)
所做功只与始末位置有关，而与具体路径无关的力称为保守力. 库仑力也是保守力.
保守力的闭合路径积分为 \(0\).
3. 势能的概念，几种常见的势能（重力势能、引力势能、弹性势能）
势能是状态的函数，具有相对性，与零势能参照点的选取有关. 势能属于系统，不独立讨论.
4. 质点的动能定理、质点系的动能定理、功能原理及其应用。
质点的动能定理：合力对质点所做的功等于质点动能的增量.
\[W=E_{k2}-E_{k1} \]*功和动能都依赖于惯性系的选取.
质点系的动能定理：质点系动能增量等于其一切外力做的功与一切内力做的功之和.
质点系的功能原理：质点系机械能增量等于外力与非保守内力做功之和.
5. 机械能守恒定律及其应用，机械能守恒的条件。
机械能守恒定律：外力和质点系内非保守力都不做功时：
\[\sum E_{ki}+\sum E_{pi}=\sum E_{k0}+\sum E_{p0} \]
第五章 静电场
我们从施力和做功两个角度来研究静电场的性质.
1. 静电场的两个基本定理（高斯定理、环路定理）及其物理意义。
（真空中静电场的）高斯定理：通过球面的电场强度通量等于球面包围的电荷 \(q\) 除以真空电容率.
（静电场的）环路定理：静电场中电场强度 \(E\) 的环流（闭合路径线积分）为 \(0\).
2. 电场强度的两种计算方法：
（1）根据库伦定律计算电场强度；
库仑定律：两个静止的点电荷的相互作用力（库仑力）
\[\vec{F}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\vec{e^r}\\ 其中\ k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\\ \epsilon_0称为真空电容率. \]
电场强度以施力的角度刻画静电场性质. 其方向是试验（正）电荷在其中受力的方向.
点电荷电场强度：
\[\vec{E}=k\frac{Q}{r^2}\vec{e_r} \]电场强度叠加原理
电偶极子：\((-q,+q,r_0)\) ，电偶极子轴 \(\vec{r_0}\) 从 \(-q\) 指向 \(+q\) ，电偶极矩 \(q\vec{r_0}\). 关于电偶极子的电场强度计算只需设好坐标系，分解叠加即可.
计算电场强度，如果电荷分布在线上就微分线元，分布在面上可以分解为线，两次积分. 注意利用对称性简化运算.
（2）用高斯定理计算具有球对称性或柱对称性的电场的电场强度。
电场线：始于正电荷，终止于负电荷的不封闭曲线. 任何两条电场线不能相交. 电场线在空间的密度分布可以表示电场强度的大小.
受此启发，我们定义电场强度的大小是该处电场线的密度：\(\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}S}\)，其中 \(\mathrm{d}N\) 表示垂直于该处面积元 \(\mathrm{d}S\) 的电场线数.
电场线并不存在，这个定义实际上是用电场强度给电场线赋定义. 有了电场线的概念，我们给出 电场强度通量 \(\Phi_e\) 的定义：通过电场中某个面的电场线数目. 匀强电场中，有
\[\Phi_e=ES\cos\theta=\vec{E}\cdot\vec{S}=\vec{E}\cdot\vec{e_n}S \]高斯定理：对闭合曲面 \(S\)
\[\Phi_e=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{q}{\epsilon_0} \]非常优美的性质.
对于具有球对称性或柱对称性的电场，对所求点作出电场强度对称均匀垂直的高斯面.
无限大均匀带电平面在空间内产生均匀的电场，很神奇. 后面提到平行板电容器的时候还会用到这个结论，电荷面密度为 \(\sigma\) 时，两（无限大）带电平面之间的电场强度 \(E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\)
静电场力所做的功：\(W=\int\mathrm{d}W=q_0 \int_l\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\)，只与试验电荷 \(q_0\) 及其起点和终点位置有关.
\(q_0\) 在电场中某处的电势能：把它从该点移到零电势能处电场力所做的功.（相对于零电势处选点）
3. 电势的两种计算方法：
电势（符号为 \(V\)，单位为 \(V\)），
电势差（符号为 \(U_{AB}=V_A-V_B\)，单位为 \(V\)），
电势能（符号为 \(E_p\)，单位为 \(J\)）
注意只有电荷分布在有限空间的情况下才能选择无穷远处作为零电势，否则需要选取参考电势.
注意电势是标量. 可以直接值叠加，请不要胡乱分解.
带电球面是一个等势体，球面内电势是与球面上电势相等的.
（毕竟球面内任意两点电势差为 \(0\) （电场强度为 \(0\) ））
（1）用电场强度求电势；
\[V_A=\int_{A\infin}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\\ U_{AB}=\int_{AB}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=V_A-V_B \]
（2）利用点电荷的电势公式和电势叠加原理求电势。
\[V=\int_r^\infin\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_r^\infin k\frac{q}{r^2}\mathrm{d}r=kq\frac{1}{r} \]
第六章 静电场中的导体与介质
1. 静电场中导体达到静电平衡的条件。
导体内电场强度 \(\vec{E}=\vec{0}\).
导体内和导体表面都没有电荷的定向运动，导体表面的电场强度方向与表面垂直（不通过表面）.
导体电势处处相等，称其为等势体.
2. 静电平衡时，导体上电荷分布、电势分布的特点。
静电平衡时，由于导体内的 \(E\) 为 \(0\)，所以在导体内部任取高斯面的电场强度通量都为 \(0\)（ \(E\) 的面积分 ），根据高斯定理，其中包围电荷的代数和为 \(0\)
故：在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面.（对空腔导体也一样（外表面））
导体外非常邻近表面处的电场强度 \(E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\)，其中 \(\sigma\) 表示该处的电荷面密度.（在该处取一小块圆柱体高斯面由高斯定理可得）
一个导体一般曲率半径较小的位置电场比较强.
3. 静电屏蔽的概念，静电屏蔽的方法。
空腔导体（等势体）的静电屏蔽作用
空腔导体将使空腔内空间不受外电场的影响；
接地空腔导体将使空腔外空间不受空腔内电场的影响.
4. 电场的能量与电场能量密度的概念。
5. 电容的概念，电容的计算，电容器的电能的计算。
电容反映了导体贮存电荷和贮存电能的本领.
孤立导体的电容
真空中有带电 \(Q\) 的孤立导体，其电势为 \(V\)（设无穷远处为零电势）. 对于一个确定的导体而言，其电势正比于其所带电荷. 定义电容 \(C\) ：
\[C=\frac{Q}{V} \]考虑球形孤立导体 \((R,Q)\) ，其电势为 \(V=k\frac{Q}{R}\).
那么其电容为
\[C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{k\frac{Q}{R}}=\frac{R}{k}. \]符号为 \(C\)，单位为 \(F\)（法拉）.
\(1F=10^3mF=10^6\mu F=10^9 nF=10^{12}pF\)
电容器
两个能够带有等值异号电荷的导体所组成的系统称为电容器. 两个导体称为电容器的两个电极.
真空中两个导体 \((+Q,V_1)\) 和 \((-Q,V_2)\) ，电势差为 \(U=V_1-V_2\). 定义其电容为
\[C=\frac{Q}{U} \]孤立导体也可以看成电容器的一个极板，另一个极板在无穷远处.
电介质有一个能接受的最大电场强度 \(E_b\)，称为击穿场强（属于介质的性质）.
对于平行平板电容器，有击穿电压 \(U_b=dE_b\) ，其中 \(d\) 是平行平板电容器的两极板间距.
常用高斯定理来求电容器内场强.
电容器的电能
计算电容器的电能，我们考虑电容器的充电过程.
若当前两极板间电势差为 \(U\)，两极板上的电荷为 \(+Q, -Q\)，有 \(U=\frac{Q}{C}\).
此时将电容器负电极板上 \(+\mathrm{d}Q\) 的电荷移到正电极板，克服静电场力所做功为
\[\mathrm{d}W=U\mathrm{d}Q=\frac{Q\mathrm{d}Q}{C}\\ W_e=\frac{1}{C}\int_0^QQ\mathrm{d}Q=\frac{Q^2}{2C}（电容器的电能）\\ \]跟上面那个 \(U=\frac{Q}{C}\) 代几下会得到几个不同的表达式.
对于平行平板电容器，还有两个式子是：
\[C=\frac{\epsilon S}{d},其中\ \epsilon\ 表示电介质的电容率.\\ U=Ed\\ 然后代入电容器能量的式子就会得到\\ W_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2Sd \]C=Q/U
E=lam/eps=Q/(S*eps)
U=EdC=Q/U=Q/(Ed)=(Q/d)*(eps/lam)=epsS/d
由于 \(Sd=V\)，可得平行平板电容器单位体积电场能量为
\[w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2 \]
第七章 恒定磁场
1. 毕奥-萨伐尔定律，计算载流直导线激发的磁场的磁场强度；
载流圆导线在其中心轴线上一点处激发的磁场强度
电流：单位时间内通过截面 \(S\) 的电荷
\[I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \]我们引入电流线，用电流线的密度表示电流的大小，并且引入物理量电流密度（我是矢量，但是电流是标量），其方向是该点正电荷的运动方向，其大小是单位时间内通过该点附近垂直于正电荷运动方向的单位面积的电荷.
\[\Delta I=\int_s \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=env_d\Delta S(均匀的截面中) \]
毕-萨定律，用于求解恒定电流激发磁场.
电流元：\(I\mathrm{d}\vec{l}\)，其中 \(\mathrm{d}\vec{l}\) 是线元矢量.
考虑电流元产生的磁感强度
\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{e_r}}{r^2} \]其中 \(e^r\) 是电流元到点 \(P\) 方向上的单位矢量.
计算的话，把这个式子写清楚，确定方向，拆掉矢量箭头，该列theta的列，微元可以化成theta的表达式，最后会变成一个对theta积分的式子.
2. 理解磁场的高斯定理及其物理意义。
磁通量：
\[\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S} \]符号为 \(\Phi\)，单位为 \(Wb\)（韦伯）.
磁场的高斯定理：通过任意闭合曲面的磁通量等于零.
3. 理解安培环路定理及其物理意义。会用安培环路定理计算无限长载流直导线、无限长载流圆柱体、无限长载流圆柱面等产生的磁场。
安培环路定理：磁场强度 \(\vec{B}\) 沿闭合路径的线积分（也称其环流），等于此闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积：
\[\oint_l\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\mu_0I \]
4. 会计算洛伦兹力，根据洛伦兹力分析电荷在磁场中的运动情况。
洛伦兹力
\[\vec{F_m}=q\vec{v}\times\vec{B} \]
7. 会计算形状简单的载流导线在磁场中的受力（安培力）。
安培力
\[\mathrm{d}\vec{F}=Id\vec{l}\times\vec{B} \]合力用矢量叠加.
第八章 电磁感应 电磁场
1. 会用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，会判定动生电动势的方向。
法拉第电磁感应定律
\[\mathscr{E}_i=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \]
2. 理解动生电动势的起因，掌握动生电动势的两种计算方法。
\[\mathrm{d}\mathscr{E}_i=(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{l} \]注意电动势和静电力方向相反.
3. 理解静电场与感生电场的区别。
浙公网安备 33010602011771号