高等代数（一）复习（断更）

高等代数（一）复习

第一章 线性方程组

\[\S 1.1 \ \ \ 线性方程组的解法 \]

​ 解线性方程组的基本想法：通过线性方程组的初等变换将线性方程组化为阶梯型方程组。
​ 解线性方程组的理论依据：实施初等变换得到的方程组与原方程组同解.

增广矩阵：由 \(n\) 元线性方程组的系数和常数项按照原来顺序排成的矩阵.

系数矩阵：由 \(n\) 元线性方程组的系数排成的矩阵.

初等行变换

零行

主元

阶梯形矩阵：零行都在下方，各非零行主元列指标随着行指标增大严格增大.

简化行阶梯形矩阵：主元都是 \(1\) ，并且主元所在列的其余元素都为 \(0\).

高斯消元法：通过初等行变换，把线性方程组的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，从而得到解.

习题 1.1

题型：解线性方程组. 对增广矩阵使用初等行变换得到简化行阶梯型矩阵即可.

\[\S 1.2 \ \ \ 线性方程组解的情况及其判别准则 \]

定理1 系数和常数项为数的 n 元线性方程组解的情况有且只有三种可能：无解，唯一解，无穷多解。

​ 考虑增广矩阵化为阶梯形矩阵 \(\text{J}\)：

• \(0=d\neq0\) 无解
• 非零行数 \(r=n\) 唯一解
• 非零行数 \(r<n\) 无穷多解

无穷多解的情况下：

​ 主变量（ \(r\) 个 ），自由未知量（ \(n-r\) 个 ）

​ \(\text{J}_{\text{0}}\) 中可以得到每个主变量用自由未知量得到的至多一次的式子来表示的表达式。

推论1 \(n\) 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是：其系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的非零行数 \(r<n\).（因为齐次线性方程组一定有零解）

推论2 如果 \(n\) 元齐次线性方程组的方程个数 \(s\) 小于未知量个数 \(n\)，那么该方程组一定有非零解.（因为 \(r<s<n\) ）

习题 1.2

题型：

1. 解线性方程组. 对增广矩阵使用高斯消元法得到阶梯型矩阵（判断解的情况）;若有解，进一步变换求解.
2. 判断带参线性方程组解的情况. 对增广矩阵使用高斯消元法得到阶梯型矩阵，分类讨论非零行数 \(r\) 的情况（有解/无解）.
3. 一些几何问题化为简单线性方程组求解问题.
4. 齐次方程组只需对系数矩阵操作即可.
5. 注意 推论2 的情况：方程个数 \(<n\)

\[\S 1.3 \ \ \ 数域 \]

定义1 若复数集 \(\Z\) 的一个子集 \(\mathbb{K}\) 满足：

• \(0,1 \in \mathbb{K}\)
• \(a,b \in \mathbb{K} \Rightarrow a \pm b \in \mathbb{K}\) 且 \(ab\in \mathbb{K}\)
• \(\mathbb{K}\) 中每个非零数 \(b\) 的倒数 \(\frac{1}{b} \in \mathbb{K}\)

那么 \(\mathbb{K}\) 是一个数域。

有理数域是最小的数域（可以从 \(1\) 开始推导.）

​ 注意在矩阵的初等行变换中，"倍数" "非零数" 都在 \(\mathbb{K}\) 中.

习题 1.3

题型：证明一个集合是数域. 表示例：\(\mathbb{Q(i)}=\{a+bi\ |\ a,b \in \mathbb{Q} \}\)

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第二章 行列式

\[\S 2.1 \ \ \ n 元排列 \]

\(n\) 元排列 \(a_1a_2 \cdots a_n\) 逆序数记作：\(\tau(a_1a_2\cdots a_n)\)

根据逆序数的奇偶性分为偶排列和奇排列.

对换：把排列中两个数互换位置.

命题1 对换改变 \(n\) 元排列的奇偶性.

命题2 任意 \(n\) 元排列与自然顺序的 \(n\) 元排列可以经过一系列对换互变，并且所做对换的个数与 \(n\) 元排列奇偶性相同.（由 命题1 推出）

习题 2.1

题型：求 \(n\) 元排列的逆序数；给一个排列的逆序数，求变换后另一个排列的逆序数；问排列中某个元素构成多少个逆序.

\[\S 2.2 \ \ \ n 阶行列式的定义 \]

定义1 \(n\) 阶矩阵 \(A=(a_{ij})\) 的行列式，是由 \(A\) 的元素按照一定规则组成的表达式：

​ \(n!\) 项的代数和：其中每一项是位于不同行、不同列的 \(n\) 个元素的乘积，并且把 \(n\) 个元素以行指标为自然顺序排好位置，当列指标构成的排列是偶排列时，该项带正号；构成的排列是奇排列时，该项带负号. 记作 \(\det A\) 或者 \(|A|\).

\[\begin{aligned} \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | &=\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}\\ &=\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(k_1k_2\cdots k_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}\cdots a_{i_nk_n} \end{aligned} \]

称为 \(n\) 阶行列式的完全展开式.

命题1 \(n\) 阶上三角形行列式的值等于主对角线上 \(n\) 个元素的乘积.

习题 2.2

题型：按照定义求（展开非0项数很少的）行列式；如果没法很清晰的感性解决可以试试列定义.

\[\S 2.3 \ \ \ 行列式的性质 \]

定义1 A的转置 \(A^\text{T}\)：\(A^\text{T}(i;j)=A(j;i)\)

性质1 转置前后行列式的值不变.

性质2 行列式中一行的公因子可以提出.

性质3 若行列式中有一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.

性质4 两行互换，行列式的值变号.

性质5 两行相同，行列式的值为0.

性质6 两行成比例，行列式的值为0.

性质7 把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变.

三种初等行变换的记号：

• \(①\cdot b\)
• \((①,②)\)
• \((①+②*l)\)

对行变换写在等号上方，对列变换写在等号下方.

习题 2.3

题型：用行列式的性质求解行列式. 可能需要一些灵感菇，多试试用几种初等行变换，或者将行列式拆分，尝试得到 0 比较多易于枚举 或者上三角行列式

\[\S 2.4 \ \ \ 行列式按一行展开 \]

定义1

余子式：划去 \(i\) 行 \(j\) 列后剩下的元素按原来次序组成的 \(n-1\) 阶矩阵的行列式 \(M_{ij}\)

代数余子式：\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)

定理1 行列式按第 \(i\) 行展开：

\[|A|=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} \]

定理2 同理有行列式按第 \(i\) 列展开.

定理3 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 行列式的第 \(i\) 行元素与第 \(k\) 行相应元素的代数余子式的乘积之和等于 \(0\).（等价于把第 \(k\) 行替换成第 \(i\) 行，后面还会提到线性方程组的解）

定理4 对列有相似结论.

1. Vandermonde 行列式

\[\begin{aligned} \left | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & a_{3}^2 & \cdots & a_{n}^2\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} \end{matrix} \right | &=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i-a_j) \end{aligned} \]

证明使用数学归纳法. 将第 \(i\) 行的 \(-a_1\) 倍加到第 \(i+1\) 行上，消去第一列的后 \(n-1\) 个数，然后提出公因式得到 \(n-1\) 阶的子问题.

2. \(\R\) 上 \(n\) 阶三对角线行列式

\[D_n=\begin{aligned} \left | \begin{matrix} a & b & 0 & \cdots & 0 \\ c & a & b & \cdots & 0 \\ 0 & c & a & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{matrix} \right | = \begin{cases} (n+1)(\frac{a}{2})^n & \quad \Delta=0\\ \frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha_1-\beta_1} & \quad \Delta \ne 0 \end{cases} \end{aligned} \\ 其中\ \alpha,\beta\ 是方程\ x^2-ax+bc=0\ 两根. \]

手算的话，将 \(D_n\) 按照第一行展开，会获得 \(D_n\) 的递推式.

\[D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} \]

设参 \(q\) 解

\[D_n-kD_{n-1}=q(D_{n-1}-kD_{n-2}) \]

得 \(q\) 的方程

\[q^2-aq+bc=0\\ \Delta=a^2-4bc \]

当 \(\Delta=0\) 时：

\[q_1=q_2=\frac{a}{2}\\ D_n-\frac{a}{2}D_{n-1}=(\frac{a}{2})^n\\ \frac{D_n}{(\frac{a}{2})^n}-\frac{D_{n-1}}{(\frac{a}{2})^{n-1}}=1\\ \frac{D_1}{(\frac{a}{2})^1}=\frac{a}{\frac{a}{2}}=2\\ D_n=(n+1)(\frac{a}{2})^n \]

当 \(\Delta\ne0\) 时：

\[注意到\ q \ 和\ k \ 地位均等.\ 设两根分别为\ \alpha, \beta \\ \begin{cases} D_n-\alpha D_{n-1}=\beta (D_{n-1}-\alpha D_{n-2}) \\ D_n-\beta D_{n-1}=\alpha (D_{n-1}-\beta D_{n-2}) \end{cases}\\ 注意到有\\ D_2-\alpha D_1=a^2-bc-\alpha a=(a-\alpha)^2=\beta^2.\\ 联立两式即可得到\ D_n\ 的表达式 \]

3. 首 1 多项式的矩阵表示

\[x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0=\begin{aligned} \left | \begin{matrix} x & 0 & 0 & \cdots & a_0 \\ -1 & x & 0 & \cdots & a_1 \\ 0 & -1 & x & \cdots & a_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x+a_{n-1} \end{matrix} \right | \end{aligned} \]

数学归纳法：按第一行展开.

\[\S 2.5 \ \ \ 克拉默法则 \]

定理1（克拉默法则的第一部分） 数域 \(\mathbb{K}\) 上含有 \(n\) 个方程的 \(n\) 元线性方程组有唯一解的充要条件是其系数行列式 \(|A|\ne 0\).
定理4（of \(\S 4.4\ 可逆矩阵\) 克拉默法则的第二部分） \(|A|\ne0\) 时，该线性方程组 \(Ax=\beta\) 的唯一解是

\[(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},\cdots,\frac{|B_n|}{|A|})^T \]

其中 \(B_j\) 表示把 \(A\) 的第 \(j\) 列换成 \(\beta\)，其余列不动所得到的矩阵.

推论1 数域 \(\mathbb{K}\) 上含有 \(n\) 个方程的 \(n\) 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于 \(0\).

一个应用是证明平面上 \(n\) 个点（横坐标互不相同）确定唯一一个次数小于 \(n\) 的多项式函数（系数行列式是范德蒙德行列式）.

​ 第一章中我们讨论（一般）线性方程组解的问题时，我们将增广矩阵化为阶梯形矩阵后，根据其非零行的个数与未知元个数 \(n\) 的关系，以及系数部分为 \(0\) 的部分对应常数项的情况等，用该阶梯形矩阵的特征判断其解的情况.

​ 第二章引入了行列式之后，我们讨论含有 \(n\) 个方程的 \(n\) 元线性方程组（或许这种情况是最有典型讨论价值的）的解的情况，其系数矩阵是 \(n\) 阶方阵，增广矩阵是 \(n\times (n+1)\) 矩阵. 我们同样按照第一章中介绍的方法对矩阵进行初等行变换，这里先考虑系数矩阵，好研究行列式与该问题的关系.

​ 第一章我们学到初等行变换不改变增广矩阵对应的线性方程组的解，第二章中我们学到初等行变换对行列式值的影响（值不变或者乘 \(\mathbb{K}\) 上非 \(0\) 数，也说明其是否为 \(0\) 的性质不会改变）。那么系数矩阵变换成阶梯形矩阵之后，行列式为 \(0\)（实际上是有零行） / 不为 \(0\) 正好对应了阶梯形矩阵形态所反映的方程组解的情况 无解或无穷多解 / 有唯一解.

​ 无解或无穷多解的情况区分需要看增广矩阵最后常数列的情况，对齐次线性方程组这里就缩掉了一个情况.

​ 有唯一解的情况下，系数矩阵变换成的阶梯形矩阵是上三角形行列式，斜对角上 \(n\) 个主元都不为 \(0\) ，自然就有行列式的值不为 \(0\).

习题 2.5

题型：判断有 \(n\) 个方程的 \(n\) 元线性方程组解的情况，或者在带参的时候对解的情况进行讨论. 对系数行列式一顿搞，如果行列式为 \(0\) 就把增广矩阵拿出来一顿搞.

\[\S 2.6 \ \ \ 行列式按 k 行展开 \]

定义1 在 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 中，按序任意取定 \(k\) 行：\(i_1,i_2,\cdots,i_k\) ; 按序任意取定 \(k\) 列：\(j_1,j_2,\cdots,j_k\).

​ 这 \(k\) 行 \(k\) 列交叉位置的 \(k^2\) 个元素按照原来的次序排列组成 \(k\) 阶矩阵，该矩阵的行列式称为 \(A\) 的一个 \(k\) 阶子式，记作：

\[A\left ( \begin{matrix} i_1,i_2,\cdots,i_k\\ j_1,j_2,\cdots,j_k \end{matrix} \right) \]

​ 划去这 \(k\) 行 \(k\) 列，剩下的 \((n-k)^2\) 个元素按照原来的次序排列组成 \(n-k\) 阶矩阵，该矩阵的行列式称为上述 \(k\) 阶子式的余子式，它同时也是 \(A\) 的一个 \(n-k\) 阶子式，记作：

\[A\left ( \begin{matrix} i_1',i_2',\cdots,i_{n-k}'\\ j_1',j_2',\cdots,j_{n-k}' \end{matrix} \right) \]

​ 该余子式乘以 \((-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)}\) 得到的式子称为前述 \(k\) 阶子式的代数余子式，记作：

\[(-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)}A\left ( \begin{matrix} i_1',i_2',\cdots,i_{n-k}'\\ j_1',j_2',\cdots,j_{n-k}' \end{matrix} \right) \]

定理1（Laplace 定理） 在 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 中，取定第 \(i_1,i_2,\cdots,i_k\) 行，则 \(A\) 的行列式等于这 \(k\) 行元素形成的所有 \(k\) 阶子式与其各自的代数余子式的乘积之和.

定理2（Laplace 定理） 对列有类似结论.

推论1 下式成立：

\[\left | \begin{matrix} A & 0\\ C & B \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} A & D\\ 0 & B \end{matrix} \right | = |A||B| \]

其中 \(A\) 和 \(B\) 都为方阵. 该式子的证明用行列式按前 \(k\) 行 / 前 \(k\) 列展开.

该式在 \(\S 4.5\ 矩阵的分块\) 有应用.

习题 2.6

题型：用按 \(k\) 行展开行列式来简化行列式运算，计算余子式系数的时候要认真谨慎. 好像有的题只是给一个矩阵要求子式值？

在 \(\S 2.4\ 行列式按一行展开\) 中，一些行列式通过一行展开可以得到同构的子结构（比如三对角线行列式），那么当矩阵的对称性更强，可能需要按多行展开才能得到同构子结构.

补充题中提到行列式还可以用来提取其所表示的多元多项式的因式.

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第三章 \(n\) 维向量空间 \(\mathbb{K}^n\) 及其子空间

\[\S 3.3 \ \ \ 极大线性无关组与向量组的秩 \]

定义1 如果向量组的一个部分组是线性无关的，并且从向量组的其余向量（若还有）任取一个添进去，得到的新部分组都线性相关，那么称这个部分组是一个极大线性无关组.

定义2 如果向量组 \(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}\) 的每个向量都可以由向量组 \(\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_r}\) 线性表出，那么称向量组 \(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}\) 可以由向量组 \(\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_r}\) 线性表出.

​ 如果这两个向量组线性表出，那么称这两个向量组等价，记作：

\[\{\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}\}\cong\{\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_r}\} \]

向量组的线性表出有传递性；

向量组的等价有反身性，对称性，传递性.

命题1 向量组与它的极大线性无关组等价.

推论1 向量组的任意两个极大线性无关组等价.

引理1 设向量组 \(\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_r}\) 可以由向量组 \(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}\) 线性表出. 若 \(r>s\)，则向量组 \(\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_r}\) 线性相关. （逆否：若向量组 \(\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_r}\) 线性无关，则 \(r\leq s\)）

推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.

推论4 向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等.

定义3 向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记作：

\[rank\{\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}\} \]

​ （规定全由零向量组成的向量组的秩为 \(0\)）

命题2 向量组线性无关的充要条件是其秩等于其向量个数.

命题3 如果向量组 \(\text{I}\) 可以由向量组 \(\text{II}\) 线性表出，那么 \(rank(\text{I})\leq rank(\text{II})\) .

命题4 等价的向量组有相同的秩.

命题5 两个向量组等价的充要条件是，秩相等并且其中一个可以线性表出另一个.

命题6~9 暂时省略.

\[\S 3.5 \ \ \ 矩阵的秩 \]

定义0 矩阵 \(A\) 的列向量组的秩称为 \(A\) 的列秩，行向量组的秩称为 \(A\) 的行秩.

定理1 阶梯形矩阵 \(J\) 的行秩与列秩相等，他们都等于 \(J\) 的非零行数，且 \(J\) 的主元所在列构成向量组的一个极大线性无关组.

定理2 矩阵的初等行/列变换不改变矩阵的行秩/列秩.

定理3 矩阵的初等行/列变换不改变矩阵的向量组的线性相关性.

定理4 矩阵的行秩等于列秩.

​ 行秩等于列秩这块没有立刻接受，所以写一下理解.

​ 因为感觉行向量和列向量长度不一样的情况下，所在空间维度好像不一样. 不过这样考虑，即使是维度比较高的向量，但向量组中向量的个数比较小，能张成的空间维度也比较低.

矩阵的秩是其行向量组的秩、列向量组的秩、也是其不为 \(0\) 的子式的最高阶数.
（也是其对应阶梯形矩阵的非零行数）

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​ 呃，现在是2025年6月30日. 我终于考完了数学分析，将把剩余的时间全部投入给高等代数的复习. 我首先回顾一下自己前面复习了什么内容，理清一下复习的思路.

​ 第一章：线性方程组

​ 首先介绍线性方程组的解法.
​ 对增广矩阵使用高斯消元得到阶梯形矩阵，根据其非零行特征判断解的情况.
​ 进一步使用高斯消元得到简化行阶梯形矩阵，得到具体解.

​ 下一章引入了行列式作为研究有 \(n\) 个方程的 \(n\) 元线性方程组的解的工具：
​ 克拉默法则（行列式值与解唯一性；解的形式）

​ 第二章：行列式

​ 首先介绍 \(n\) 元排列及其逆序数，提到对换改变排列奇偶性.
​ 给出行列式的完全展开式；
​ 给出一些行列式的运算性质：
​ （1）转置，提取公因式，一行拆成两部分和；
​ （2）初等变换.

​ 提出了行列式按一行展开.
​ 随后，介绍了三个特殊的行列式：
​ 1. Vandermonde 行列式：证明用数学归纳法，\(\color{#2FAFDF}{化出子问题是很重要的技巧}\)
​ 2. 三对角线行列式：按第一行展开化出子问题，变成了递推式. \(\color{#DFDFDF}{公式可酌脑容量背诵（\text{qwq}}\)
​ 3. 首 1 多项式的行列式表示：按第一行展开化出子问题，用数学归纳法.

​ 提出了行列式按 \(k\) 行展开（Laplace 定理）.