【补题】The 2023 ICPC Asia Shenyang Regional Contest

B. Turning Permutation

求字典序第 k 小的回转排列（定义见原题）。

既然是考虑排列字典序，那么可以从排列的最高位开始一位一位确定。比如我目前确认了排列的第 1 位为 \(p_1\)，那么字典序一定比将构造出来的排列小的排列，第一位就是 2~n。此时通过枚举第1位上的p，就可以求解以每个值为开头的回转排列一共有多少个，再根据 k 确定所求的字典序第 k 小排列在哪个值为开头的回转排列集里面。

由此，如果可以完成固定前缀的回转排列数的快速求解，那么就能确定排列的最高位。确定完最高位之后，又可以枚举下一位的取值，在确定的前缀下求出回转排列数，从而再求出所求排列所在的排列前缀子集。

重新审题：
回转排列：每添加下一个数都会改变一个方向。
如果1在2的左边，那么就是以向右（1）开始：
此后对于每个偶数的状态都是向左（0），对于每个奇数的状态都是向右（1）。
如果2在1的左边，那么就是以向左（0）开始：
此后对于每个偶数的状态都是向右（1），对于每个奇数的状态都是向左（1）。

设 \(\text{f[i][j][0/1]}\) 表示目前插入到了 i ，并且 i 在当前已经插入的不在前缀中的数的个数里面在第 j 位。1 表示下一位向右，0 表示下一位向左。

特别地，对于已经在确定前缀中的 i，j=0 ，如果 i-1 在前缀中，若 i-1 在 i 左侧（实际上并不会出现这种情况，我猜的），则 \(\text{f[i-1][0][1]--->f[i][0][0]}\)；否则 \(\text{f[i-1][0][0]--->f[i][0][1]}\) 。如果 i-1 不在前缀中，则 i-1 一定在 i 右侧，那么 \(\text{f[i-1][j=1~i-p0][0]--->f[i][0][1]}\)

对于不在前缀中的 i ，枚举 j=(1~i-p0)。如果 i-1 在前缀中，则从 \(\text{f[i-1][0][1]}\)转移到 \(\text{f[i][j][0]}\)；如果 i-1 不在前缀中：（1）枚举 k=1~j-1，从 \(\text{f[i-1][k][1]}\)转移到 \(\text{f[i][j][0]}\)；（2）枚举 k=j~i-p0-1 ，从 \(\text{f[i-1][k][0]}\)转移到 \(\text{f[i][j][1]}\)

Code：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 55
ll f[MAXN][MAXN][2];
int n;
ll k;
int book[MAXN];
int q[MAXN];
const ll MX=(ll)(1e18);

inline ll r(int p)
{
	int p0=p,psum=0;
	for (int i=0;i<=n;i++)
		for (int j=0;j<=n;j++)
			f[i][j][0]=f[i][j][1]=0;
	if (book[1]) f[1][0][0]=f[1][0][1]=1,psum++;
	else f[1][1][0]=f[1][1][1]=1;//,printf("!????????");

	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (book[i])
		{
			if (book[i-1])
			{
				if (q[i-1]<q[i])
				{
					f[i][0][0]+=f[i-1][0][1];
				}
				else
				{
					f[i][0][1]+=f[i-1][0][0];
				}
			}
			else
			{
				for (int j=1;j<=i-psum;j++)
				{
					f[i][0][1]+=f[i-1][j][0];
				}
			}
			if (f[i][0][0]>MX||f[i][0][1]>MX) return -1;
			psum++;
		}
		else
		{
			for (int j=1;j<=i-psum;j++)
			{
				if (book[i-1])
				{
					f[i][j][0]+=f[i-1][0][1];
				}
				else
				{
					for (int k=1;k<=j-1;k++)
					{
						f[i][j][0]+=f[i-1][k][1];
						if (f[i][j][0]>MX) return -1;
						// if (p==1&&book[3]==1&&i==2) printf("!!!!!!!!!!%lld\n",f[1][1][1]);
					}
					for (int k=j;k<=i-psum-1;k++)
					{
						f[i][j][1]+=f[i-1][k][0];
						if (f[i][j][1]>MX) return -1;
					}
				}
			}
		} 	
	}
	// if (p==1&&book[3]==1) printf("TEST:%lld\n",f[2][2][0]);
	ll sum=0;
	for (int j=0;j<=n-p0;j++) sum+=f[n][j][0]+f[n][j][1];
	return sum;
}
int ans[MAXN];
ll sum=0;
inline void R()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		/*if (i==3)
		{
			for (int x=1;x<=3;x++) printf("===%d\n",book[x]);
		}*/
		for (int j=1;j<=n;j++)
		{
			if (book[j]) continue;
			book[j]=1;
			q[j]=i;
			ll rri=r(i);
			// printf("sum=%lld rri=%lld\n",sum,rri);
			if (sum+rri>=k||rri==-1)
			{
				break;
			}
			sum+=rri;
			q[j]=0;
			book[j]=0;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	R();
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{	
		if (q[i]==0)
		{
			puts("-1");
			return 0;
		}
		ans[q[i]]=i;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]); puts("");
	return 0;
}

调试过程中出现的问题：总回转排列数可能会爆longlong，所以计算过程超出的时候要特判一下。