算法第二章实践作业

1. 找第 (k) 小的数的分治算法
   可以借用快速排序中划分数组的方法。先选一个基准元素，例如当前区间的第一个数，通过一次划分，把小于等于基准的数放在左边，大于等于基准的数放在右边，并确定基准的位置 (p)。
   假设当前区间为 ([left,right])，则基准在这个区间中的排名为 (rank=p-left+1)。如果 (rank=k)，基准就是要找的数，直接返回；如果 (rank>k)，就在左边的区间继续找第 (k) 小的数；如果 (rank<k)，就在右边的区间找第 (k-rank) 小的数，因为前面已经排除了 (rank) 个数。
   重复这个过程，不断缩小查找范围，直到找到目标，或者区间中只剩下一个数。与快速排序相比，这个算法每次只需要处理目标所在的一边，不用把整个数组排好序。
2. 最好时间复杂度和最坏时间复杂度
   最好时间复杂度为 (O(n))。如果第一次划分后，基准恰好就是第 (k) 小的数，只需遍历一次数组就能得到答案。如果每次划分都比较均匀，每次只需继续处理大约一半的数据，总计算量为 (n+n/2+n/4+ldots)，时间复杂度 同样是 (O(n))。
   最坏时间复杂度为 (O(n^2))。当每次选到的基准都是当前区间的最小值或最大值，而且目标一直在剩下的那一边时，每次只能排除一个元素，需要处理的规模依次为 (n,n-1,n-2,ldots)，总计算量为平方级。例如，数组已经有序，每次固定选择第一个元素作为基准，并查找靠后的元素，就可能出现这种情况。
3. 对分治法的体会和思考
   通过本章的学习，我觉得分治法主要是把一个规模较大的问题拆成更小的同类问题，再通过求解子问题得到原问题的答案。刚开始接触递归时，我容易把注意力放在函数怎样调用自己上，后来发现，更关键的是想清楚如何划分问题，以及什么时候可以直接得到结果、结束递归。
   找第 (k) 小的数这个例子让我认识到，并不是划分出来的每一部分都要继续处理。根据基准的排名，就能排除一部分数据，减少不必要的计算。同时，划分方式也会影响效率，同一个算法可能是 (O(n))，也可能退化为 (O(n^2))。所以在使用分治法时，既要保证子问题划分正确，也要考虑每次能缩小多少规模，不能只看算法用了递归就认为它一定高效。