数学 n个球m个盒的排列组合问题

球是否相同，决定分法
盒是否相同，决定放法
任何情况下，放法*分法就是总方案数

球相同，盒不同，不允许有空盒

$C_{n-1}^{m-1}$
插板法，n-1个空插m-1个板子分成m份

球相同，盒不同，允许有空盒

$C_{n+m-1}^{m-1}$
先给每个盒子放一个球，再插板，这个球其实是不存在的，再将其抽出，恰好弥补了空盒的情况

球不同，盒相同，不允许有空盒（斯特林数）

$dp[n][m]=dp[n-1][m-1]+dp[n-1]*m$
对n个球依次放，并对每一个单独讨论
设为$dp[i][j]$是i个不同的球放入j个相同的盒子的种数
对于第i个球，有两种放法
-第i个球单独占一个盒子，方案书就是$dp[i-1][j-1]$
-第i个球和其他球在一起，方案数就是$j*dp[i-1][j]$

球不同，盒相同，允许有空盒

和上一种情况差不多$dp[n][m-1]$就相当于空一个盒子的方案数了，所以求和即可
$\sum_{i=1}^mdp[n][i]$

球不同，盒不同，不允许有空盒

$dp[n][m]=(dp[n-1][m-1]+dp[n-1][m]*m)*fact(m))$
fact是m的阶乘，对应球不同盒相同的情况，因为盒子不同了，所以有了
放法：$fact(m)$，相当于盒子的全排列

球不同，盒不同，允许有空盒

$m^n$
每个球m种方法

球相同，盒相同，不允许有空盒

• 当n小于m时，很明显无法满足无空盒的情况，方案数是0
• 当n大于等于m时
  • 如果第n个球单独占一个盒子，方案数时dp[n-1][m-1]
  • 如果第n个球不单独占一个盒子，方案数是dp[n-m][m]，相当于先给所有的盒子放一个球的方案
    $dp[n][m]= \begin{cases} dp[n-1][m-1]+dp[n-m][m] & \text{n>=m}\\ 0 &\text{n<m} \end{cases}$
    初始条件：$dp[k][k]=1$

球不同，盒相同，允许有空盒

-当n小于m时，有一个盒子必然是空的，盒子相同空哪个都是一样的，所以方案数是dp[n][m-1]
-当n大于等于m时，可以分为两种情况

• dp[n][m-1]，第m个盒子是空的情况
• dp[n-m][m],第m个盒子不空的情况
  $dp[n][m]= \begin{cases} dp[n][m-1]+dp[n-m][m] & \text{n>=m}\\ dp[n][m-1] &\text{n<m} \end{cases}$
  初始条件：$dp[k][1]=1,dp[1][k]=1,dp[0][k]=1$