crypto数学基础之群环域

要学好CTF crypto，数学基础是必不可少的。之后的一段时间我将在补充web方向博客的基础上，开启一部分新博客，用以记录入门crypto方向的学习收获。接下来正式开始介绍，首先从群环域开始讲起。

群：

首先定义一个非空集合 G，以及一种在其上的二元运算 *，如果集合 G 满足以下四个条件，则称之为一个群：

1. 封闭性 即集合 G 中任意两个元素做二元运算的结果，仍在集合 G 内，则称其满足封闭性；
2. 结合律 类比我们以前学过的加法结合律，即集合 G 中任意元素都满足 (ab)c = a(bc)，则称其满足结合律；
3. 单位元 即集合 G 中存在一个元素 e，该元素 e 与集合 G 中任意一个元素 x 做二元运算，得到的结果均为 x 本身，则称其存在单位元；
4. 逆元 即对集合 G 中任意一个元素 x，均能找到一个元素 y，使得 x*y 得到的结果为单位元 e，则称其存在逆元。
   满足上述四个条件的非空集合可以被成为群(Group)，比较典型的例如整数加法群，不难验证其不仅对加法封闭，满足加法结合律，且存在整数 0 作为单位元，并对于每个整数 m 皆有其相反数 −m 作为其逆元。同理还有有理数乘法群，同样不难验证其对乘法封闭，满足乘法结合律，且存在有理数 1 作为单位元，并对于每个有理数 x 皆有其倒数 1/x 作为其逆元。甚至于集合 G={-1，1}对于乘法也可以构成一个群，不难验证这两个元素任意相乘的结果均落在集合内，且满足乘法结合律，整数 1 作为其单位元，对于此集合而言该元素的逆元是其本身。除了数之外，矩阵集合也同样可以被称作群，举一个简单的例子：n阶实数矩阵对矩阵乘构成一个群，不难理解其满足封闭性，矩阵乘也显然满足结合律，对于该集合而言单位元是单位矩阵 E，逆元则是任意矩阵的逆矩阵

半群与幺半群：

以上四个条件有时候并不那么容易实现，因此引出了两个概念，即半群与幺半群
半群：当一个非空集合仅满足封闭性和结合律时，称之为一个半群；
幺半群：当一个非空集合满足封闭性和结合律的同时存在单位元（即不满足逆元），则称之为一个幺半群。
因此，可以认为幺半群是存在单位元的半群，群是每一个元素都存在逆元的幺半群
举例而言，正整数集合对于加法构成半群（没有单位元，也就无法满足逆元的条件），而自然数集合对于加法构成幺半群（在正整数集合的基础上多了元素 0，而 0 恰好可以作为该集合的单位元）

交换群（阿贝尔群）：

顾名思义，当一个群满足交换律时，我们称之为一个交换群或阿贝尔群(Abel Group)
不难看出，整数加法群满足加法交换律，有理数乘法群满足乘法交换律，因此这两个群均是交换群，而由于矩阵乘法不满足交换律，因此 n阶实数矩阵乘群不是一个交换群

环和域：

再定义一个非空集合 R，以及其上的两种二元运算 +和*，如果集合 R 满足以下条件，则称之为一个环：

1. 集合 R 对二元运算 + 构成阿贝尔交换群
2. 集合 R 对二元运算 * 满足结合律，即集合 R 对二元运算 * 构成一个半群
3. 分配律：集合 R 对于两种二元运算同时满足左右分配律，即 a(b+c) = ab+ac 且 (b+c)a = ba+bc
   满足上述三个条件的非空集合可以被成为环(Ring)，通常将环中构成交换群的二元运算称作加法，构成半群的二元运算称作乘法，环中的加法单位元称作零元。和群类似，环也有如下概念：
   幺环：当环 R 中的乘法存在单位元时，则称该环为一个幺环
   交换环：当环 R 中的乘法满足交换律时，则称该环为一个交换环
   除环：当环 R 中除了零元外的任意元素均存在逆元，则称该环为一个除环
   域：当一个环同时满足交换环和除环时，则称之为一个域

指数与阶：

首先仿照数的指数运算，定义群中的指数概念如下：
元素 x 属于群 G，m 属于正整数：
x^0 = e（单位元）
x^m = xxx……x 总计 m 个 x 做 * 运算
x^-m = (x^-1)m
定义元素的阶：对于群 G 中任意元素 x，若正整数 m 满足 x^m = e（单位元），则称 m 为元素 x 的阶，若不存在这样的正整数 m,则称该元素的阶为无限
下面举一个简单的例子，在集合 G={1,-1,i,-i}关于乘法 x 的群中：元素1的阶为1，元素-1的阶为2，元素i与元素-i的阶均为4，由于定义及计算较为简单，故不作多余说明

关于群环域这块的知识暂时回忆起来的就这么多，实际上代数部分想要深入进行学习的话难度也是相当之高的，当初学习信息安全数学基础的时候也挺痛苦的，所以先做好基础知识的复习吧，如果在之后的crypto学习过程中遇到不懂的知识盲点再做补充梳理