[小丁笔记] 计算几何

数学基础

二维叉乘

• $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_xb_y-a_yb_x)\vec{k} $

三维叉乘

• $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z-a_zb_y)\vec{i}+(a_zb_x-a_xb_z)\vec{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\vec{k}$

极角排序

• 本质上是对二维向量进行排序

• 用极坐标 \((\theta,r)\) 的 \(\theta\) 精度不够

• 直接在排序中判断向量的顺序，可以避免精度误差

• 叉乘可以判断向量的左右关系，但是超过180度后很难直接定义排列顺序
  因此可以采用先用象限粗判再用叉乘判断的方式解决问题

• 例题：cf598c

• 代码片段

    int quad(){ //求象限
        if(y>=0) return ((x>=0)?1:2);
        else return ((x>=0)?4:3);
    }
    inline bool cmp(point a,point b){
        int qa=a.quad(),qb=b.quad();
        if(qa==qb) return mul(a,b)>0; // mul代表叉乘
        else return qa<qb;
    }
  

求向量夹角

• 代码片段

    #include<cmath>
    double rad(Vec a,Vec b){
        return fabs(atan2( mul(a,b) , dot(a,b) ));
        // mul代表叉乘，dot代表点乘
    }
  

• \((atan2(y,x)=arc tan\frac{y}{x}) \)

• \(\frac{\vec{a}\times\vec{b}} {\vec{a}\cdot\vec{b}}=\frac{\lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert sin\theta}{\lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert cos\theta}=tan\theta\)

超级板子