[学习笔记]背包问题

01背包

有\(N\)件物品和一个容量为\(V\)的背包.第\(i\)件物品体积为\(C_i\),价值为\(W_i\).

求背包最大价值.

\(f[i][j]\)表示前\(i\)种物品体积为\(j\)的最大价值,

\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-C_i]+W_i)\).

时间复杂度\(O(VN)\).

优化空间复杂度

\(f[j]\)表示体积为\(j\)的最大价值,

\(f[j]=max(f[j],f[j-C_i]+W_i)\) (从大到小枚举\(j\)).

多重背包

有\(N\)件物品和一个容量为\(V\)的背包。第\(i\)种物品最多有\(M_i\)件可用，体积为\(C_i\)，价值为\(W_i\).求背包最大价值.

\(f[i][j]\)表示前\(i\)种物品体积为\(j\)的最大价值,

\(f[i][j]=max(f[i-1][j-C_i\;\times\;k]+W_i\;\times\;k)(0\;\leq\;k\;\leq\;M_i)\)

时间复杂度\(O(VMN)\).

二进制拆分

将\(M_i\)拆成\(2^0,2^1,2^2...2^k,M_i-\sum_{i=0}^{k}{2^i}(\sum_{i=0}^{k}{2^i}<M_i\;\leq\;\sum_{i=0}^{k+1}{2^i})\),

则在其中任意选取多个数,其和\(\leq\;M_i\);

\([1,M_i]\)间的数都可以通过选取其中多个数得到.

证明:

因为每个十进制数都可拆成二进制数,\(2^0,2^1,2^2...2^k\)分别代表二进制某一位上的\(1\),

所以\([1,\sum_{i=0}^{k}{2^i}]\)间的数都可以取到.

加上\(M_i-\sum_{i=0}^{k}{2^i}\)后,\([M_i-\sum_{i=0}^{k}{2^i}+1,M_i]\)间的数都可以取到.

因为\(M_i\;\leq\;\sum_{i=0}^{k+1}{2^i}\),即\(M_i\;\leq\;2^{k+2}-1\),

所以\(M_i-2\;\times\;2^{k+1}+1\;\leq\;0\),即\(M_i<2\;\times\;(2^{k+1}-1)=2\;\times\;\sum_{i=0}^{k}{2^i}\).

所以\([1,\sum_{i=0}^{k}{2^i}]\cap[M_i-\sum_{i=0}^{k}{2^i}+1,M_i]=[1,M_i]\).

例题

Description

设有\(1g,2g,3g,5g,10g,20g\)的砝码各若干枚（其总重\(\leq100000\)）要求：计算用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

Input

一行，包括六个正整数\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\)，表示\(1g\)砝码有\(a_1\)个，\(2g\)砝码有\(a_2\)个...\(20g\)砝码有\(a_6\)个。相邻两个整数之间用单个空格隔开。

Output

以的形式输出，其中\(N\)为可以称出的不同重量的个数。

Sample Input

1 1 0 0 0 0

Sample Output

Total=3

Solution

多重背包二进制拆分+注意输出格式。

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 100005
using namespace std;
int a[7]={0,1,2,3,5,10,20};
int w[N],n,ans;bool f[N][M];
inline void init(){    
    for(int i=1,s,k;i<=6;++i){
        scanf("%d",&s);k=s;
        for(int j=1;k>=j;j<<=1,k>>=1){
            w[++n]=j*a[i];s-=j;
        }
        if(s) w[++n]=s*a[i];
    }
    f[0][0]=true;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<w[i];++j)
            f[i][j]=f[i-1][j];
        for(int j=w[i];j<M;++j)
            f[i][j]=(f[i-1][j]||f[i-1][j-w[i]]);
    }
    for(int j=1;j<M;++j)
        if(f[n][j]) ++ans;
    printf("Total=%d\n",ans);
}
int main(){
    freopen("weight.in","r",stdin);
    freopen("weight.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout); 
    return 0;
}

单调队列优化

观察式子\(f[i][j]=max(f[i-1][j-C_i\;\times\;k]+W_i\;\times\;k)(0\;\leq\;k\;\leq\;M_i)\),

每一个\(mod\;C_i\)的值相同的j可以用单调队列进行优化.

例题

bzoj1531

完全背包

有\(N\)件物品和一个容量为\(V\)的背包.每种物品都有无限件可用,第i件物品体积为\(C_i\),价值为\(W_i\).求背包最大价值.

\(f[i][j]\)表示前\(i\)种物品体积为\(j\)的最大价值.

\(f[i][j]=max(f[i-1][j-C_i\;\times\;k]+W_i\;\times\;k)\).

时间复杂度\(O(N^2V)\)

优化时间复杂度

\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-C_i]+W_i)\).

例题

bzoj1618