20250810 做题记录

专题，下面是部分题解：

F

考虑 \(F(n)\) 表示 \(n\) 个点本质不同二叉树数量，\(G(n)\) 表示 \(n\) 个点本质不同二叉树的叶子结点数的和。

打表可以发现 \(G(n)=nF(n-1)\)，也可以考虑证明：

对于一个 \(n\) 个节点的树，删去一个叶子结点得到 \(n-1\) 个节点的树，而对于一个有 \(n-1\) 个节点的树，有 \(n\) 种方法增加一个点。从一个 \(n-1\) 个点的树，加了一个点，可以视为在 \(n\) 个点的树上，计数了这个点。因此方案数就是计数：\(G(n)=nF(n-1)\)。

因此我们要求的是：

\[\frac{G(n)}{F(n)}=\frac{nF(n-1)}{F(n)} \]

有 \(F\) 转移：

\[F(1)=1\\F(n)=\sum_{i=0}^{n-1}F(i)F(n-i-1) \]

发现是卡特兰数的形式，我们得到 \(F(n)=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}\)，带入原式：

\[\frac{nF(n-1)}{F(n)}\\=\frac{n\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{n}}{\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}}\\=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)} \]

H

首先考虑最优操作：贪心，从大到小扫，如果当前为 1 就翻一下。

记 \(F(i)\) 表示在贪心策略下，需要 \(i\) 步的局面，到需要 \(i-1\) 步的局面，需要的期望步数。

那么你有 \(i\) 种正确的选择和 \(n-i\) 种错误的选择，有递推式：

\[F(i)=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}(1+F(i+1)+F(i))\\ \frac{i}{n}F(i)=1+\frac{n-i}{n}F(i+1)\\ F(i)=\frac{n}{i}+\frac{n-i}{i}F(i+1) \]

Done.

B

容易发现 \(P(a>b)=P(a<b)\)，只需计算 \(P(a=b)\) 即可。

\[\sum_{i=1}^n\frac{i(i+1)}2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}+\frac{n(n+1)}4=\frac{n(n+1)}2\times\frac{n+2}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}6\\ \frac{-9{n^2}+6{n(2n+1)}}{[n(n+2)]^2}=\frac{3}{n(n+1)} \]

C

要求经过每条边的期望次数，排序即可。

边的数量比较多，不好处理，考虑从点出发。

记 \(f(i)\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 期望访问 \(i\) 的次数。有递推：

\[f(u)=\sum_{(u,v),v\neq n}\frac{f(v)}{deg_v}+[u=1] \]

高斯消元即可。

I

考虑如果我们知道 \(e\) 的值，我们直接跑 Kruskal 即可。

这启发我们枚举用了 \(i\) 条边（在连接第 \(i\) 条边时刚好使图联通），知道这个的方案数，然后 \(\max e=\frac{i}{m+1}\)。

发现直接从边出发不太好搞，考虑加入点辅助。

记 \(f(S,i),g(S,i)\) 表示用了 \(S\) 点集里的点，用了 \(i\) 条边，不联通 or 联通的方案数。显然有：

\[f(S,i)+g(S,i)=\binom{cnt_S}{i} \]

然后转移的时候，枚举 \(S\) 里的一个点，枚举他所在的连通块，枚举用的边数，计算。

\[\text{for }u\in S,f(S,i)=\sum_{T\in S,u\in T}\sum_{j=0}^{cnt_T}g(T,j)\times\binom{cnt_{S\text{\\}T}}{i-j} \]

然后，返回原题，“恰好 \(i\) 条边后联通”的概率是：

\[\frac{g(U,i)}{\binom{m}{i}}-\frac{g(U,i-1)}{\binom{m}{i-1}} \]

答案即为：

\[\sum_{i=n-1}^mi\left(\frac{g(U,i)}{\binom{m}{i}}-\frac{g(U,i-1)}{\binom{m}{i-1}}\right) \]

G

发现异或运算不具有线性性，但是异或的好处在于每一个二进制位可以单独考虑。

因此每条边变为 \(0\) 或 \(1\)。记 \(f(i)\) 表示从 \(i\) 出发到 \(n\) 这一位的期望。有递推式：

\[f(u)=\frac{\left(\sum_{(u,v,w=0)}f(v)\right)+\left(\sum_{(u,v,w=1)}1-f(v)\right)}{deg_u}\\f(n)=0 \]

一定要注意自环的时候对点的度数的计数！