20250808 做题记录

早上在看卡牌游戏，差不多理解了做法。

下午打多校，做了一些签到，不能算什么题吧，顶多把那个蓝给完成了。

晚上十点通过了 卡牌游戏，并写了如下题解：

\[\left\lfloor\frac{S}{\operatorname{lcm}(a,b)}\right\rfloor\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=S-S\bmod\operatorname{lcm}(a,b) \]

发现 \(\operatorname{lcm}(a,b)\) 可以扩展为任意 \(a,b\) 的公倍数，因为显然用 \(\operatorname{lcm}\) 不劣。

设 \(dp[i]\) 表示以 \(i\) 结尾，最大的结果。

\[dp[i]=\max_{j\in[1,i-1]}\left(dp[j]+S-S\bmod\frac{a[j]a[i]}k\right)\\ \]

看到有除法，考虑根号分治。把 \(\le B=\sqrt S\) 的称为小数，\(>B\) 的称为大数。

如果 \(a[i]\) 是小数，则我们开一个桶，\(ans[i]\) 表示当前数为 \(i\) 时的 \(dp\) 值。直接 dp[i] = ans[a[i]]; 即可。同时要更新一下后文的 \(mx\)。

如果 \(a[i]\) 是大数，

• 首先考虑 \(a[j]\) 是小数。发现 \(\operatorname{lcm}\) 无法对应到 \(a[j]\)（因为 \(a[j]\) 的倍数太多了）。但是 \(a[j]\) 本身的取值比较少，因此我们也开一个桶，\(mx[i]\) 表示 \(a[j]=i\) 时最大的 \(dp\) 值。我们枚举上一个数的值，更新 dp[i] = mx[j] + S / t * t;。
• 如果 \(a[j]\) 是大数，我们就可以枚举 \(\operatorname{lcm}\) 了，我们也可以从 \(ans\) 转移。不过在 \(i>B\) 的时候 \(ans[i]\) 的定义不太一样了：定义为 \(a[i]a[j]|i\) 时，最大的 \(dp\) 值。因此枚举 \(a[i]\) 的倍数，dp[i] = ans[j * a[i]];，同时如果 \(a[i]a[j]>S\)，都计入 \(ans[S+1]\)，即 dp[i] = ans[S + 1];。
  然后更新 \(ans\)：ans[j * a[i]] = dp[i] + S / (a[i] * j) * (a[i] * j);，以及 ans[S + 1] = dp[i];。

最后为了让 \(ans\le B\) 的部分正确，我们可以用当前的 \(dp\) 值更新 \(ans\)：ans[j] = dp[i] + S / lcm(a[i], j) *lcm(a[i], j);。

这样我们就做完了第一部分。

对于 \(tp=1\) 的情况，考虑拼接：对于转移，要么被 ban 的点是被跨过的，要么就是刚好踩在一个转移点上，因此我们只需要再往前多记录一个转移点就行了。

发现可能过不了，我没写。

考虑常数优化：

注意到一个性质：如果 \(dp[i]=dp[j]+c(j,i)\)，\(c(j,i)\) 要么为 \(0\)，要么 \(>\frac S2\)。因此如果 \(S\ge\max(a[i])^2\)，则能选的都可以选上，因为不会有 \(c(j,i)=0\) 的情况。更进一步，如果一个转移 \(j\to i\)，\(i,j\) 之间有 \(\ge3\) 个小数，则我们不妨把这三个小数都选上，一定更优。因此，对于一个 \(i\)，如果从一个小数转移到它，只需要枚举往前走 \(1\sim3\) 步的小数，如果它转移到一个小数，只需枚举往后走 \(1\sim3\) 步的小数。

那么，从大数转移到大数怎么办呢？考虑仍然用之前的转移即可。记 \(mul[i]\) 表示 \(\max_{a[j]|i}dp[j]\)，转移就枚举 \(a[i]\) 的倍数 \(j\)，\(dp[i]\gets mul[j]+j\)。（因为 \(j\) 就是最开始的“公倍数”）然后再更新 \(mul\)。这里要注意，倍数可以为 \(0\)，不要忽略了。

那么，怎么做 \(tp=1\) 呢？就跟前面说的，你本来只需要记录前 3 个转移点，现在为了防止 ban 的刚好踩在一个上面，你就多记录一个就行了，然后在转移的时候把两个转移点中间的答案 check max。

如果是大数转移到大数，注意到 dp 值单调，只需要记录最后一个是 \(i\) 的因数的位置和倒数第二个，就可以转移了。

你会有 \(n\sqrt S\) 个 check max 操作，使用反向 st 表搞一搞就行了。