博弈论学习笔记

mex运算

\(mex\)运算是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。

SG函数

对于状态\(x\)和它的所有\(k\)个后继状态\(y1,y2...yk\)，定义\(SG\)函数：
\(SG(x)=mex\{SG(y1),SG(y2),...,SG(yk)\}\)
如果\(SG(x)=0\)，则对应当前的\(x\)为一种必败状态

SG定理

对于由\(n\)个各自独立的游戏组合而成的组合游戏，设它们的起点分别为\(S_1,S_2,...,S_n\)，则有定理：
当且仅当\(SG(S_1)\) \(xor\) \(SG(S_2)\) \(xor...xor\) \(SG(S_n)≠0\)时，这个游戏是先手必胜的。

求解方法

\(DAG\)反向建图，做一遍\(TopSort\)