中国剩余定理及其证明

1. 中国剩余定理表述

设正整数\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)两两互素，则同余方程组:

\[\begin{cases} x \equiv a_1(mod \quad m_1) \\ x \equiv a_2(mod \quad m_2) \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ x \equiv a_n(mod \quad m_n) \\ \end{cases} \]

有整数解，且在模\(M = \prod_{i=1}^{n} m_i\)下的解是唯一的，解为:

\[x \equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M \]

其中\(M_i = M / m_i\)，\(M_i^{-1}\)为\(M_i\)模\(m_i\)的逆元.

2. 证明

为了证明\(x\)是上述同余方程组的解，则需要对每个方程考察x通解中的每一项.

对于\(\forall i \in \{1,2,\cdots,n\}\)，证明

\[x \equiv a_i(mod \; m_i) \]

下面考察\(x\)通解中的每一项。

\(\forall j \in \{1,2,\cdots,n\},\)令\(x_j = a_jM_jM_j^{-1}\), 则\(i\)与\(j\)可分为两种情况：

1. 当\(i\neq j\)时，由于\(M_j = M /m_j\)，所以\(M_j \; mod \; m_i = 0\)，故\(x_j \; mod\;m_i = 0\)

2. 当\(i = j\)时，由于\(M_j = M /m_j\)，，且\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)两两互素，所以\(M_jM_j^{-1} \equiv 1 (mod\; m_i)\)，故\(x_j \equiv a_j(mod\; m_i)\)，即\(x_i \equiv a_i(mod\; m_i)\)

则:

\[\begin{aligned} x &\equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M \; mod\; m_i\\ &\equiv (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \;mod\; m_i\\ &\equiv (a_i + \sum_{j\neq i}0)\;mod \;m_i \\ &\equiv a_i \; mod\;m_i \end{aligned} \]

即\(\forall i \in \{1,2,\cdots,n\}\)，\(x \equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M\)，满足方程\(x \equiv a_i(mod \; m_i)\)，可得\(x\)是方程组的通解，证毕。