中国剩余定理及其证明
1. 中国剩余定理表述
设正整数\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)两两互素,则同余方程组:
\[\begin{cases}
x \equiv a_1(mod \quad m_1) \\
x \equiv a_2(mod \quad m_2) \\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\
x \equiv a_n(mod \quad m_n) \\
\end{cases}
\]
有整数解,且在模\(M = \prod_{i=1}^{n} m_i\)下的解是唯一的,解为:
\[x \equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M
\]
其中\(M_i = M / m_i\),\(M_i^{-1}\)为\(M_i\)模\(m_i\)的逆元.
2. 证明
为了证明\(x\)是上述同余方程组的解,则需要对每个方程考察x通解中的每一项.
对于\(\forall i \in \{1,2,\cdots,n\}\),证明
\[x \equiv a_i(mod \; m_i)
\]
下面考察\(x\)通解中的每一项。
\(\forall j \in \{1,2,\cdots,n\},\)令\(x_j = a_jM_jM_j^{-1}\), 则\(i\)与\(j\)可分为两种情况:
-
当\(i\neq j\)时,由于\(M_j = M /m_j\),所以\(M_j \; mod \; m_i = 0\),故\(x_j \; mod\;m_i = 0\)
-
当\(i = j\)时,由于\(M_j = M /m_j\),,且\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)两两互素,所以\(M_jM_j^{-1} \equiv 1 (mod\; m_i)\),故\(x_j \equiv a_j(mod\; m_i)\),即\(x_i \equiv a_i(mod\; m_i)\)
则:
\[\begin{aligned}
x &\equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M \; mod\; m_i\\
&\equiv (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \;mod\; m_i\\
&\equiv (a_i + \sum_{j\neq i}0)\;mod \;m_i \\
&\equiv a_i \; mod\;m_i
\end{aligned}
\]
即\(\forall i \in \{1,2,\cdots,n\}\),\(x \equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M\),满足方程\(x \equiv a_i(mod \; m_i)\),可得\(x\)是方程组的通解,证毕。