续尺问题和戴德金悖论

怎样推翻整个现有的数学体系4----续尺问题和戴德金悖论

这一集有三个要点：
1、首先还是要谈现实中一个简单的数学问题以引出悖论；
2、本集将给出一个关于戴德金分割和七大实数连续定理所阐述的实数连续性的一个有史以来最简洁的等价文字描述版本，感兴趣的人一定要看到最后；
3、提出相邻论一些最基础的定义和一些相关的猜想和讨论。

还是先从现实中一个简单的数学问题说起：
（上一集讨论断尺问题时我发现竟然有人看不懂比喻，难道竟然还有读幼儿园的人来看这样的文章？那可真是天才啊！天才中的天才。挺好挺好，数学从娃娃抓起嘛。所以为了照顾那样的小朋友我先特此说明：以下所提到的尺子都是比喻一段连续的空间。）

假设现在你在干活的时候发现手中的尺子（刻度0~10）不够长，于是你打算接上《断尺问题》中的右边那截尺子（4～10），你的手艺非常好，两把尺子连接起来之后一点缝隙都没有。这时，有完美主义的你忽然为一个小问题犯起了难：“右边那截尺子原来4刻度的那一点现在的值应该是多少呢？”因为它现在左边相邻的那点就是10了，作为10右边的那一点现在无论如何也应该比10的那一点大了一点，那么，它的值到底应该是多少呢？10.1？10.001？10.0...01？
（大家觉得应该是多少？）
如果你想用数学来解决这个问题的话，很遗憾，根据戴德金分割公理，能够得出的结论是：不仅无法求出那一点的值是多少，而且你的眼能看到、手确定能摸到的真实存在的右尺4刻度那一点是不存在的。
以上这个问题就是“续尺问题：戴德金分割现实悖论”。

是的，根据戴德金分割原理，相邻的左尺10和右尺4那两点必须有一点消失，否则整个与实数相关的数学体系将会分崩离析、崩溃粉碎。

而戴德金分割是数学的一条公理，是数学的基石之一。不需要证明，不需要解释，“不言自明”。
根据这条公理，也可以推导出：任何一个确定的实数，它旁边是不存在任何实数的，也就是说它不和任何实数相连（或者说相邻），但实数却是连续的。。。。这听起来是不是又是一个悖论？(姑且叫做戴德金悖论吧)
那问题来了，为什么一个悖论可以作为数学的一条公理，作为数学的一个重要基石呢？公理难道不是要经过长期实践，没有观察到任何反例的吗？

我之前发断尺问题时，有人评论说：尺子不能代表实数的一部分线段，因为现实世界是离散的，而实数是连续的。那如果是尺子所占用的那段空间呢，总应该是连续的吧？那它切断之后左边那截所占用的空间，长度最大的那一点值是多少呢？是不是数学也认为空间的那一点不存在？
这时候之前说话的人可能已经意识到戴德金分割原理确实和现实逻辑相悖了，但是出于人类的天性，承认是不可能承认的了，于是他们转移话题说：数学不依赖于现实，它是一套抽象的出来的自成体系的一套自洽的逻辑体系。
这就相当于是说，他们发现有一个人说的话虽然明显不符合事实，俗称瞎编或者说谎，但是说谎的功力了得，那套谎话编得那叫一个溜儿圆，于是认定他说的就是正确的，是值得推崇的。那岂不是某个姓耶的人说的话，还有那本关于他的书，或者其他的任何一个棕较，都符合他们上面所说的那种观点？不上棕较学校真是屈才了呀。。

事实上数学中的实数就是源于现实生活和工作（物理世界），也会反过来应用于（反作用于）现实生活的各方各面，“实数是人类描述物理世界连续性最基本的数学工具”，这话可不是我说的，不信你可以去搜一下，那就是数学创立实数的最根本目的。所以如果它和现实逻辑相悖，应用的时候很有可能就会出现问题。

这时候有人又说了：现在的数学逻辑也许是不完美的（竟然还有人能承认这一点，真的是让我莫名惊诧啊），但它是有用的，而且非常有用。你提出来的存在两个实数点相邻的论调又有什么用呢？即使真的存在所谓的相邻论，数学又为什么要因此而改变？它除了会让整个现有的数学体系崩溃之外，它有什么用啊？

这确实是一个很好的问题，问得太好了，灵魂之问啊！其实像这样的问题可谓历史悠久，比如说一两百年前就有人问：“法拉第，你这个叫发电机的玩意儿到底有什么用啊？”这么好的问题，你猛的一问，我一时还真想不出来发明个发电机到底能有点啥用。等我好好想想再告诉你吧。

言归正传，就像前面3集所说的一样：数学是错的。数学是和现实逻辑相悖的。这就像你发现有个人说话和现实不符，那他就是在说谎，不管他的谎话编得多么的溜圆儿，他说的都是错的。
其实大家对“数学是错的”这种事不用太惊讶和难以接受，因为可以肯定的是，不仅数学是错的，而且人类所掌握的一切理论体系都是错的。因为人类的认知是有限的，而这个世界是无限的。你永远无法完全掌握这个世界的真相，只能无限的逼近真相。
而最重要的其实并不在于你能否推翻数学体系，而是你能否创建一个新的、更好的、更完善的、更符合真相、更有用的理论体系去替代它。

很多人学习数学、学习科学，他从来不会去质疑课本上的知识，所以以前数学课本告诉你自然数不包含0你就认为自然数不包含0，后来数学课本改成自然数包含0你当然也就认为包含0，无需解释，“不言自明”，之前和之后都没有一丝疑虑。我觉得这样的人学科学真的是屈才了，你就应该去上棕较学校，只有棕较中的剩经和先知说的话才会不可置疑，你就应该去学那个。你的坚定不“疑”肯定会让你在棕较领域建树颇丰，而不是像现在这样碌碌无为一辈子，不是你能力不行，而是你走错路了。

而科学的任务和科学的精神就少不了要把质疑、探索和求证作为最坚定的精神基石，作为永不停歇的行动指南，如果科学的弟子没有这样的精神，那么数学和科学就不会有任何的发展，永远止步不前。也不会有集合论、相对论、量子理论的出现和不断完善。
只要你认为你是科学的弟子，那么无论谁说的话，无论什么理论，只要你觉得不大对劲，都大胆的去质疑吧！因为就像上面说的：不仅数学是错的，而且人类所掌握的一切的理论都是错的。所以只要你有质疑，就大胆的去探索吧！只要小心求证就可以了。
探索的过程中也不用在意别人的笑话，因为数学本身就是个笑话，你就当成和别人交流一下笑话好了，哈哈哈。别说是你了，人家正儿八经的知名数学家，比如康托尔，和罗副司机，提出极其重要的开创性的数学理论之后，后半辈子还一直被一大堆正儿八经的知名数学家攻击呢。别搞得像罗副司机那样抑郁，更没必要像康托尔那样精神崩溃。后来康托尔开创的理论已然成为数学的基础，罗副司机虽然差了点，不也被扶正了嘛，通通进入数学的祖师堂了，而且是极其显赫的位置。所以你就不能太把别人说的攻击你的话当回事，你想啊，连数学都是错的了，那某个平常人说的话还有必要太在意吗？哈哈哈。
天不降相邻论，实数集万古如长夜啊。。。。道友们！赶紧留取金脑照汗青吧！祝你名垂青史。

那说了老半天，现在数学所定义的实数的连续性到底错在哪里呢？
根据戴德金分割和7个基本连续性定理，它们所说的实数连续是（请注意，以下是人类有史以来对现有数学关于实数“连续性”的最简洁易懂的一个文字描述版本，可能不完备太粗糙，但将对未来数学的教育产生巨大的作用，让学生在学现有实数“连续性”这个概念时理解的难度大大降低）：对于任意一个确定的实数点A，它的两边都有其他实数点无限的趋近于点A（但是没有任何实数点与a相连，或者说相邻）。也就是说现在数学所定义的实数的连续是没有任何实数点相连在一起的（不相邻），不相连而连续，这听起来是不是有点好笑？这本身就是一个悖论吧(戴德金悖论)。

上面已经用断尺问题和续尺问题说明了现实空间中的点是相连在一起，或者说点和点之间是相邻的，两个相邻点之间的空隙是0（不是无穷小，不是无限的趋近），这才叫做相连，这才叫做连续。这就是相邻论的一个最基础的要点。
当然了，从这一个最基础的点要重塑一整套相应的数学体系，使数学中的实数真正成为“描述物理世界连续性最基本的数学工具”并不是什么10天半个月的事情。从当初第一个发现无理数的人因此被投入大海处死，到建立现今的整个实数体系用了2300年左右，它离接近真相可能完成了99.9...9%的工作，而最后的0.0...1%，可能反而是最艰难的，就算花个几万年也不算多。

那么接下来有一个又一个的问题需要解决：
1、一个实数点所占的位置到底有多大？之前我说是0，不过如果从直觉来判断的话，它更可能是一个无穷小，而不是没有，否则一个个点怎么组成一个空间呢？所以我们定义一个最小无穷小，一个不可再分割的无穷小zw（占位，或者中国万岁）来表示一个实数点的大小。
zw是一个大于0的常量。没有比它更高阶或者更小的无穷小。
2、一个实数相邻的点是什么？既然上面定义了zw，那么一个实数r相邻的点当然就是r-zw和r+zw。
3、两个相邻的点（a+b）/2 等于什么？等于a或者b，可以理解为将a和b合起来，然后再分开就是各自两个数，也可以理解为类似于方程有两个解。
4、0.99的循环和1是同一个数吗？不是，0.99的循环等于1-zw。所以zw的值其实就等于(1-0.99的循环)。
好，那根据上面的基础定义计算一下相连的三个实数(a+b+c)/3=(b-zw+b+b+zw)/3=b，没问题。
代入一个具体的数字[0.99的循环+1+(1+1-0.99的循环)]/3=1，没问题。
4个相连的实数(a+b+c+d)/2=b或者c，等同于上面的第3点。以此类推。
其他的问题有待于进一步的分析讨论和解决。欢迎大家提出各种问题，用相邻论推导出各种悖论，解决各种悖论的过程就是相邻论建立和不断完善的过程。

数学 #实数 #实数连续性 #戴德金分割 #戴德金悖论 #相邻论 #两个实数相邻