Miller-Rabin素数测试
费马小定理：对于素数p和任意整数a，有ap ≡ a(mod p)（同余）。反过来，满足ap ≡ a(mod p)，p也几乎一定是素数。
伪素数：如果n是一个正整数，如果存在和n互素的正整数a满足 an-1 ≡ 1(mod n)，我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数，那么它几乎肯定是素数。
Miller-Rabin测试：不断选取不超过n-1的基b(s次)，计算是否每次都有bn-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立则n是素数，否则为合数。
二次探测定理:如果n是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或 x=p-1.
1 //Achen
2 #include<algorithm>
3 #include<iostream>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdlib>
6 #include<cstdio>
7 #include<vector>
8 #include<queue>
9 #include<cmath>
10 #include<ctime>
11 const int N=1e5+7;
12 typedef long long LL;
13 using namespace std;
14 int T;
15 LL x,p[N];
16
17 template<typename T> void read(T &x) {
18 T f=1; x=0; char ch=getchar();
19 while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
20 if(ch=='-') f=-1,ch=getchar();
21 for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; x*=f;
22 }
23
24 LL ksc(LL a,LL b,LL mod) {
25 LL base=a%mod,res=0;
26 while(b) {
27 if(b&1) res=(res+base)%mod;
28 base=(base+base)%mod;
29 b>>=1;
30 }
31 return res;
32 }
33
34 LL ksm(LL a,LL b,LL mod) {
35 LL base=a,res=1;
36 while(b) {
37 if(b&1) res=ksc(res,base,mod);
38 base=ksc(base,base,mod);
39 b>>=1;
40 }
41 return res;
42 }
43
44 int miller_rabin(LL n) {
45 LL u=n-1;
46 int k=0;
47 if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==11) return 1;
48 if(!(n%2)||!(n%3)||!(n%5)||!(n%7)||!(n%11)) return 0;
49 while(!(u&1)) {
50 u>>=1; k++;
51 }
52 for(int i=1;i<=20;i++) {
53 LL x=rand()%(n-2)+2;
54 LL tp=ksm(x,u,n);
55 for(int j=1;j<=k;j++) {
56 LL tpp=ksc(tp,tp,n);
57 if(tpp==1&&tp!=1&&tp!=n-1) return 0;
58 tp=tpp;
59 }
60 if(tp!=1) return 0;
61 }
62 return 1;
63 }
64
65 LL gcd(LL a,LL b) {return (!b)?a:gcd(b,a%b);}
66
67 LL pallord_rho(LL n,int c) {
68 LL x=rand()%n,y=x;
69 int k=2,i=1;
70 for(;;) {
71 i++;
72 x=(ksc(x,x,n)+c)%n;
73 LL tp=gcd((x-y+n)%n,n);
74 if(tp>1&&tp<n) return tp;
75 if(x==y) return n;
76 if(i==k) y=x,k+=k;
77 }
78 }
79
80 void find(LL n) {
81 if(miller_rabin(n)) {
82 p[++p[0]]=n;
83 return ;
84 }
85 LL p=n;
86 for(int c=13;;c++) {
87 p=pallord_rho(n,c);
88 if(p>1&&p<n) break;
89 }
90 find(p); find(n/p);
91 }
92
93 int main() {
94 read(T);
95 while(T--) {
96 p[0]=0;
97 read(x);
98 if(x==1||miller_rabin(x)) puts("Prime");
99 else {
100 find(x);
101 LL ans=p[1];
102 for(int i=2;i<=p[0];i++) ans=min(ans,p[i]);
103 printf("%lld\n",ans);
104 }
105 }
106 return 0;
107 }
