MLGO微算法科技通过高阶方法和重新缩放进一步改进非线性微分方程的量子算法

在科学计算和工程仿真领域，求解非线性微分方程一直被视为计算复杂性极高的核心挑战之一。随着量子计算的快速发展，如何利用量子算法在这一传统难题上实现超越经典算法的加速，成为当前行业共同关注的焦点。微算法科技（NASDAQ:MLGO）基于 Carleman 线性化（Carleman Linearization） 理论框架，对现有量子算法进行了系统性改进，提出了一种通过高阶方法和重新缩放进一步改进非线性微分方程的量子算法。该技术在复杂度、精度和稳定性三个维度上均取得显著突破，为量子计算在非线性动力系统和偏微分方程求解中的广泛应用奠定了坚实基础。
现代科学与工程系统中，大量核心模型都以非线性常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）的形式出现。无论是流体力学中的湍流模拟、材料科学中的非线性扩散、化学反应动力学，还是神经动力学模型与金融工程预测模型，其本质都涉及高度非线性的耦合方程组。这些方程由于非线性项的存在，使得解析解极为稀少，传统数值方法常需进行高维离散与多步积分，计算复杂度急剧上升。
经典算法的计算开销通常随着空间离散度和时间步长的增加而呈指数级增长。尤其是在高维 PDE 或反应扩散方程的情况下，求解的代价在大规模系统中几乎不可承受。与此同时，量子计算的兴起为这一难题提供了新的思路。量子算法的线性代数优势、叠加与干涉特性使得其在求解线性微分方程和偏微分方程中展现出潜在的指数级加速。然而，非线性问题的量子化求解依然面临两个核心瓶颈：非线性项的线性化与数值稳定性问题。
Carleman 线性化方法的提出，为将非线性系统映射到高维线性空间中求解提供了理论路径。其核心思想是将非线性方程组通过无限维线性系统近似表示，使得原本非线性的动力学行为可以在高阶线性算符下进行描述。然而，Carleman 线性化带来的高维扩展使得系统规模迅速膨胀，计算复杂度随 Carleman 阶数呈指数级增长，严重限制了其在量子算法中的可扩展性。如何抑制 Carleman 维度膨胀并保持高阶近似精度，成为量子算法改进的关键。
微算法科技在现有量子微分方程求解算法的基础上，发发现尽管已有基于 Carleman 线性化的量子方案能够有效求解部分非线性系统，但其在三个方面存在明显限制：一是复杂度随误差呈多项式或指数增长，难以在长时间演化中保持高精度；二是Carleman 线性化的高阶截断导致系统不稳定性，误差传播难以控制；三是对于偏微分方程而言，空间离散化与时间演化的耦合使得整体成本进一步放大。
为此，微算法科技（NASDAQ:MLGO）提出了基于高阶方法与重新缩放机制的量子算法改进框架，通过系统性的三项改进实现对非线性系统的高效求解。其目标不仅是降低算法复杂度，更在于建立一个可扩展的量子求解范式，使其能够自然延伸至高维 PDE 与复杂动力学方程中。
其一，是高精度线性化求解与复杂度优化，通过引入了高阶精度的线性化求解方法。在量子态空间中利用分数阶演化算符与高阶切比雪夫展开，实现了算法复杂度对误差的对数依赖性（logarithmic dependence on error），并在时间维度上保持近线性扩展。这一特性使得算法在处理长时间积分问题时具有极高的数值稳定性，避免了经典算法在微小误差积累下的指数爆炸。
再其实现中微算法科技将 Carleman 线性化后的矩阵算符通过量子哈密顿量模拟技术进行指数算符近似，并结合基于量子傅里叶变换（QFT）的本征分解加速方法，以减少求解步骤的复杂度。该技术的理论复杂度分析表明，其在误差项 ε 下的求解代价仅为 O(polylog(1/ε))，显著优于经典的多项式级方法。
其二，重新缩放机制抑制 Carleman 阶数膨胀，改进重新缩放（rescaling）机制。Carleman 线性化的本质在于将非线性项展开至高阶单项式空间，而这一步骤通常导致维度膨胀，其规模随阶数 N 呈指数增长。为此，微算法科技通过在量子电路级别引入归一化因子与幅度重新分配技术，对每个线性化层进行动态缩放。该过程通过量子态幅度的再归一化，使得量子振幅在高阶展开中不会出现极端放大，从而有效地抑制了维度爆炸的指数效应。
从数学角度看，重新缩放可被视为一种基于谱半径约束的正则化技术。在 Carleman 线性化矩阵 A 的谱分布较宽时，直接求解会导致系统能量在演化中失衡。微算法科技通过对 A 进行谱半径归一化，使得其主导特征值控制在单位圆内，确保系统的全局稳定性。这种缩放机制使得算法的整体复杂度从原本的 O(exp(N)) 降至 O(poly(N))，从根本上突破了传统 Carleman 方法的瓶颈。
其三，改进的误差界限与稳定性分析，其改进聚焦于 Carleman 线性化误差的理论分析。传统方法通常在截断 Carleman 展开时引入显著误差，尤其在高维系统中，这种误差难以精确界定。微算法科技通过推导更严格的误差界限，将误差项从全局范数转化为基于谱范数和算符范数的局部界限表达，使得算法在量子态演化中能够以可预测方式收敛。
此外，微算法科技首次在量子框架下给出了离散反应扩散方程中 Carleman 线性化误差与空间离散误差之间的耦合分析，发现当采用高阶有限差分进行空间离散时，由于最大范数与二范数之间的差异，稳定性条件可能与重缩放机制发生冲突。对此，微算法科技提出了一种基于局部子空间投影的稳定性修正方法，使得在有限离散点条件下，算法依然保持有效的收敛特性。
为验证算法的有效性，微算法科技选择了一类典型的离散反应扩散方程作为测试对象。反应扩散系统广泛存在于化学动力学、生物模式形成以及神经信号传播等领域，其非线性项与扩散项的耦合使得数值求解极具挑战性。通过将反应扩散方程在空间上采用高阶有限差分进行离散，我们构建了一个高维 ODE 系统，并在量子模拟器中实现了相应的 Carleman 线性化与重新缩放算法。
结果表明，算法在中等规模系统中即可显现出量子加速效应。当离散点数固定在数百级别时，重新缩放机制有效抑制了 Carleman 高阶项的误差传播，使得整体误差水平比传统方法降低约一个数量级。同时，时间演化复杂度与空间分辨率之间保持近似线性关系，验证了理论中复杂度随时间近线性增长的关键结论。
该技术的提出，不仅在计算复杂度上实现了突破性的改进，更为量子算法处理非线性问题提供了通用框架。通过高阶方法和重新缩放进一步改进非线性微分方程的量子算法，不仅代表了微算法科技（NASDAQ:MLGO）在量子数值分析领域的一次关键突破，也展示了量子计算在处理复杂科学问题中的巨大潜力。它标志着量子算法从线性问题向非线性问题的跨越，为未来在流体力学、量子化学、生物系统模拟及材料计算中的量子求解提供了切实可行的路径。相信这一算法框架将成为非线性量子计算研究的核心支撑技术，并推动量子计算机从理论工具向普适科学计算平台的转变。