数论基础定理与简单应用

(目前排版有些乱，后续我把内容写完的时候会重排一遍)

基本符号

$\equiv$ ，可以表示恒等，同余
$a \mid b$ ，表示 $b$ 是 $a$ 的倍数。注意不是 $a$ 是 $b$ 的倍数
$a \nmid b$ ，表示 $b$ 不是 $a$ 的倍数，与整除相反
$\in$ ，属于，用于表示一个元素在一个集合当中
$\sum$ ，求和
$[n = 1]$ ，艾弗森括号，即当 $n = 1$ 时，结果为 1，否则为 0
$!$ ，阶乘
$\cap$ ，表示集合之间取交集
$\cup$ ，表示集合之间取并集
$\left \lfloor \,\right \rfloor$ ，表示向下取整

裴蜀定理

内容

对于任意整数 $a, b$ ，设 $d = gcd(a, b)$ ，存在一组整数 $(x, y)$ 满足 $ax + by = d$ ，且对于任意一组整数 $(x, y)$ 都有 $ax + by \mid d$

费马小定理

内容

对于任意素数（质数） $p$ ，都有任意整数 $a$ 满足 $a ^ p \equiv p (mod \quad p)$ ；当满足 $p \nmid a$ 时也可以写成 $a^{p - 1} \equiv 1 (mod \quad p)$

对于第二个公式的前置条件 $p \nmid a$ 你也许并未在代码或题解中见过或强调过，因为对于 OI 里的大部分题目 $p$ 总大于 $a$ ，所以基本不会出现 $p \nmid a$ 的情况，但这并不代表改条件是可以忽视的

证明

前置知识：二项式定理，组合数

显然，当 $a = 0$ 时 $a^p \equiv p$ 成立（后文省略了$(mod \quad p)$）

使用数学归纳法，要证明 $a \in N$ 时成立，仅需证明 $(a + 1) ^ p \equiv a + 1$ 成立即可

二项式定理展开

\[(a + 1)^{p} = a ^ p + C^1_{p}a^{p - 1} + C^2_{p}a^{p - 2} + ... + C^{p - 1}_{p}a + 1 \]

进一步展开组合数

\[(a + 1) ^ p = a ^ p + \frac{p!}{1!(p - 1)!}a^{p - 1} + \frac{p!}{2!(p - 2)!}a^{p - 2} + ... + \frac{p!}{(p - 1)!(1)!}a^{p - 1} + 1 \]

由于组合数的性质，分子一定能整除分母，又因为 $p$ 是素数且不存在有组合数的分母中含 $p$ ，所以组合数的结果因数中一定含 $p$ ，

而在模 $p$ 意义下，这些组合数就会变成 0，所以可以进一步化简

\[(a + 1) ^ p = a ^ p + 1 = a + 1 \]

故，得证

因此对于任意的 $a \in N$ 都满足 $a ^ p \equiv a$

扩展欧几里得定理

扩展欧几里得定理(exgcd)本质是对裴蜀定理的求解

即给定整数 $a, b$ ，求一组整数 $x, y$ 满足 $ax + by = gcd(a, b)$

前置知识：欧几里得定理（辗转相除）

实现过程

根据欧几里得定理 $gcd(a,b)=gcd(b,a \; mod \; b)$ 可得

\[bx_1+(a\; mod\; b)y_1=gcd(a,b) \]

又因为 $a ; mod ; b = a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b $ ，所以

\[bx_1+(a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b)y_1=gcd(a,b) \]

展开整理

\[ay_1 + b(x_ 1 - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1) = gcd(a, b) \]

所以得到

\[x = y_1, y = x_ 1 - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1 \]

然后不断递归即可

模逆元

定义

对于任意非零实数 $a$ 其乘法逆元定义为 $a^{-1}$
模逆元定义为在模意义下的乘法逆元，即对于任意非零实数 $a$ ，满足 $ax \equiv 1$ 的 $x$ 即为 $a$ 的模逆元

请注意区分模逆元与乘法逆元，乘法逆元包含模逆元

应用

模逆元在OI最常用的即是对含有除法的式子进行取模运算

例如对于式子 $a \times b \;/ \;c$ ，假设 $a, b, c$ 都很大，那么我们在运算过程中就需要不断取模，但对于除法而言，我们显然不能直接对除数取模，所以我们要将除法替换

我们知道 $b\; / \; c$ 可以看为 $b \times c^{-1}$ ，而 $c^{-1}$ 的逆元为 $c$ ，我们只需要再求出 $c$ 的逆元 $x$ ，就可以用 $x$ 代替 $c^{-1}$ 进行计算。

因为在模 $p$ 意义下 $c^{-1}c \equiv 1$ 且 $cx \equiv 1$ ，所以 $c^{-1} \equiv x$

求解

对于任意非零实数 $a$

若模数 $p$ 为素数，根据费马小定理可得 $a^{p - 1} \equiv 1$ ，所以$a \times a^{p - 2} \equiv 1$

所以 $a$ 的模逆元即为 $a^{p - 2}$ ，然后用快速幂即可求出
若 $p$ 为非素数，我们可以将式子 $ax \equiv 1 \; (mod \; p)$ 转化为 $ax + bp = 1$ ，随后用扩展欧几里得定理即可求出 $x$

中国剩余定理

中国剩余定理 (CRT) 可认为是求解如下一种一元线性同元方程组的工具

\[\left\{\begin{matrix} x \equiv a_1 \; (mod \; n_1) \\ x \equiv a_2 \; (mod \; n_2) \\ ...\\ x \equiv a_k \; (mod \; n_k) \\ \end{matrix}\right. \]

公式

$x = \sum_{1}^{k}a_im_im_i^{-1}$ （保证在模 $M$ 意义下有唯一解）

其中 $M = a_1 \times a_2 \times...\times a_k$ ， $m_i = \frac{M}{n_i}$ ， $m_i^{-1}$ 为 $m_i$ 在模 $n_i$ 意义下的逆元

证明

将公式展开可得

\[x = a_1m_1m_1^{-1} + a_2m_2m_2^{-1} + ... + a_km_km_k^{-1} \]

注意到当对于对于任意的 $i$ ，因为 $m_i = \frac{M}{n_i} = \frac{n_1n_2...n_k}{n_i}$ ，所以对于其他的 $j \ne i$ ，$m_i$ 一定包含因数 $n_i$ ，所以在模 $n_i$ 意义下时，除了第 $i$ 项外其余项均为 $0$ ，所以此时 $x \equiv a_im_im_i^{-1}$ ，又因为 $m_im_i^{-1} = 1$ ，所以 $x \equiv a_i \;(mod\;n_i)$ ，所以得证

埃氏筛

埃氏筛是一种常见的素数筛法

实现过程及原理

我们要在 $1...n$ 种找到所有质数，可以通过排除所有合数来解决

对于任意合数，其一定含有质因数因子

所以我们可以根据以筛出来的质数去不断提升倍数去排除其它合数

时间复杂度为 $O(n \,logn\,logn)$

示例代码

vector<int> prime;
bool vis[N];

void is_prime(int n) {
  vis[0] = vis[1] = false;
  for (int i = 2; i <= n; i++)vis[i] = true;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (vis[i]) {
      prime.push_back(i);
      if (i * i > n) continue;
      for (int j = i * i; j <= n; j += i)
        vis[j] = false;
    }
  }
}

容斥原理

容斥原理主要解决多个集合取并后的结果

比如现在有两个集合 $A,B$ ，其并集长度 $|A\cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ ，这是显然的

若有三个集合 $A,B,C$ ，则 $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A \cap B \cap C| $

我们注意到，对于单个集合的贡献是正的，任意两个集合的交的贡献是负的，以此类推

则我们可以得到对于 $n$ 个集合的公式

\[\bigcup_{i = 1}^{n}A_i = \sum_{i = 1}^{n}A_i - \sum_{i < j}^{n}|A_i \cap A_j| + \sum_{i<j<k}^{n}|A_i \cap A_j\cap A_k| - ... \]

我们对于公式进行化简，得

\[\bigcup_{i = 1}^{n}A_i = \sum_{\phi \ne S \subseteq \left \{ 1, 2, 3...n\right \}}(-1)^{|S| + 1} \left| \bigcap_{i \in S}A_i\right | \]

迪利克雷卷积

迪利克雷卷积是一种定义在数论函数中的一种二元运算

定义为 $(f * g)(n) = \sum_{d | n}f(d)g(\frac{n}{d})$

其中 $(f*g)$ 即为新函数

性质

满足交换律，即 $f * g = g * f $
满足结合律，即 $f * g * h = f * (g * h)$
满足分配律，即 $f * (g + h) = f * g + f * h$
存在单位元 $\varepsilon = [n = 1]$ 使得任意数论函数 $f$ 满足 $f * \varepsilon = f$

积性函数

积性函数是一种数论函数，定义为若 $f$ 为积性函数，则满足 $f(ab) = f(a)f(b)$ ，其中 $a, b$ 互质

若 $a, b$ 不互质，则称 $f$ 为完全积性函数

（后文中的若无说明，都认为积性函数不是完全积性函数）

常见例子

欧拉函数 $\varphi$ 为积性函数
- 要证明 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) $
  
  其中 $gcd(a, b) = 1$ 与 $gcd(x, ab) = 1$ 等价于 $gcd(x, a) = 1, gcd(x, b) = 1$
  
  即一个数若与 $ab$ 互质，则其必须与 $a, b$ 分别互质
  
  根据中国剩余定理，$x \; mod \; ab$ 与 $(x \; mod \; a,x\; mod \; b)$ 一一对应
  
  又因为 $mod \; a$ 下余数有 $\varphi(a)$ 个， $mod \; b$ 下余数有 $\varphi(b)$ 个
  
  故 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
  
  （这里只有大致证明过程，详情可见欧拉函数 - 维基百科）
莫比乌斯函数 $\mu$ 为积性函数
- 证明在下文种

莫比乌斯函数

定义莫比乌斯函数为

\[\mu(n) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \qquad\quad n = 1\\ 0 \qquad\quad n含有平方因子\\ (-1)^k \quad n含有k个质因数 \end{array} \right. \]

性质

莫比乌斯函数是一种积性函数
- 要证明 $\mu(ab) = \mu(a)\mu(b)$，其中 $gcd(a, b) = 1$
  
  当 $a$ 存在平方因子时，即 $p^2 | a$
  
  则 $p^2 | ab$ ，所以 $\mu(ab) = 0$ ，$\mu(a) = 1$
  
  故 $\mu(ab) = \mu(a)\mu(b) = 0$
  
  当 $a$ 不存在平方因子时
  
  设 $a = p_1p_2p_3...p_n$ ， $b = q_1q_2q_3...q_m$ （$p, q$ 均为质数）
  
  由于 $gcd(a, b) = 1$，所以 $ab = p_1q_1p_2q_2p_3q_3...p_nq_m$
  
  所以 $\mu(ab) = (-1) ^ {nm}$ ，又因为 $\mu(a) = (-1) ^ n$ ，$\mu(b) = (-1)^m$
  
  所以 $\mu(ab) = \mu(a)\mu(b)$
  
  故，得证
$\sum_{d | n}\mu(d) = [n = 1]$ （这是莫比乌斯函数极为重要的性质，也是莫比乌斯反演的关键）
- 设 $n = p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}\qquad(n>1)$，
  
  由于当 $n$ 含有平凡因子时 $\mu$ 为0，所以只有当 $b_i \in {0, 1}$ 才会产生贡献
  
  假设选择了 $r$ 个质因子，则 $\sum_{d | n}\mu(d) = \sum_{r = 0}^{k}C_k^r(-1)^r$
  
  由二项式定理可得 $\sum_{r = 0}^{k}C_k^r(-1)^r = (1-1)^k = 0$
  
  而当 $n = 1$ 时，$\mu(1) = 1$
  
  故，得证

莫比乌斯反演

对于下面这种函数

\[F(n) = \sum_{d | n}f(d) \]

其莫比乌斯反转公式为

\[f(n) = \sum_{d | n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

证明

对于 $f(n)$ ，我们显然有

\[f(n) = \sum_{d | n}[\frac{n}{d} = 1]f(d) \]

即只有当 $d = n$ 时为 $f(n)$ ，即 $f(n) = f(n)$

对于 $[\frac{n}{d} = 1]$ ，我们利用莫比乌斯函数的性质将其变形带入得

\[f(n) = \sum_{d | n}\sum_{m | \frac{n}{d}}\mu(m)f(d) \]

注意到 $m | \frac{n}{d} = md | n$，所以对于 $\sum_{d | n}\sum_{m | \frac{n}{d}}$ ，我们可以化为

\[f(n) = \sum_{md | n}\mu(m)f(d) \]

此时，我们将这个求和拆开，我们固定 $d$ ，枚举 $m$ ，转化为

\[f(n) = \sum_{d | n}\mu(d)\sum_{m | \frac{n}{d}}f(m) \]

注意到 $F(\frac{n}{d}) = \sum_{m | \frac{n}{d}}f(m)$，所以得到

\[f(n) = \sum_{d | n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

故，得证

欧拉定理

内容

对于任意的 $a$ ，满足 $gcd(a, p) = 1$ 的，则都满足 $a^{\varphi(p)} \equiv 1 \quad(mod \; p)$

欧拉函数 $\varphi$ 在前文中的积性函数常见例子中有简单讲解，具体可见欧拉函数_百度百科

其也可以看作是对于费马小定理的扩展，即将费马小定理的条件 $p$ 为质数扩展到了 $a, p$ 互质，

证明

设在 $1$ ~ $p$ 中与 $p$ 互质的数为

\[x_1,x_2,x_3...x_{\varphi(p)} \]

将其都乘 $a$ 得

\[ax_1,ax_2,ax_3...ax_{\varphi(p)} \]

由于 $gcd(x_i, p) = 1$ 且 $gcd(a,p) = 1$ ，所以易得 $gcd(ax_i, p) = 1$

又由于在模 $p$ 意义下 $x_i$ 互不相同，所以 $ax_i$ 在模 $p$ 意义下也互不相同

由于 $gcd(ax_i,p) = 1$ 且 $ax_i$ 互不相同，所以我们可以得到

\[\left \{ax_1 \; mod \; p,ax_2\; mod \; p,ax_3\; mod \; p...ax_\varphi(p) \; mod \; p\right \} = \left \{x_1,x_2,x_3...x_{\varphi(p)}\right \} \]

此时我们对两个集合求积得

\[a^{\varphi(p)}x_1x_2x_3...x_{\varphi(p)} = x_1x_2x_3...x_{\varphi(p)} \qquad (mod \;p) \]

两边同时约掉 $x_1x_2x_3...x_{\varphi(p)}$ 得

\[a^{\varphi(p)} = 1\qquad(mod \; p) \]