数论基础定理与简单应用

数论基础定理与简单应用

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基本符号

• \(\equiv\) ，可以表示恒等，同余
• \(a \mid b\) ，表示 \(b\) 是 \(a\) 的倍数。注意不是 \(a\) 是 \(b\) 的倍数
• \(a \nmid b\) ，表示 \(b\) 不是 \(a\) 的倍数，与整除相反
• \(\in\) ，属于，用于表示一个元素在一个集合当中

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裴蜀定理

内容

• 对于任意整数 \(a, b\) ，设 \(d = gcd(a, b)\) ，存在一组整数 \((x, y)\) 满足 \(ax + by = d\) ， 且对于任意一组整数 \((x, y)\) 都有 \(ax + by \mid d\)

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费马小定理

内容

• 对于任意素数（质数） \(p\) ， 都有任意整数 \(a\) 满足 \(a ^ p \equiv p (mod \quad p)\) ；当满足 \(p \nmid a\) 时也可以写成 \(a^{p - 1} \equiv 1 (mod \quad p)\)

  对于第二个公式的前置条件 \(p \nmid a\) 你也许并未在代码或题解中见过或强调过，因为对于 OI 里的大部分题目 \(p\) 总大于 \(a\) ，所以基本不会出现 \(p \nmid a\) 的情况，但这并不代表改条件是可以忽视的

证明

前置知识：二项式定理，组合数

显然，当 \(a = 0\) 时 \(a^p \equiv p\) 成立（后文省略了\((mod \quad p)\)）

使用数学归纳法，要证明 \(a \in N\) 时成立，仅需证明 \((a + 1) ^ p \equiv a + 1\) 成立即可

• 二项式定理展开

\[(a + 1)^{p} = a ^ p + C^1_{p}a^{p - 1} + C^2_{p}a^{p - 2} + ... + C^{p - 1}_{p}a + 1 \]

• 进一步展开组合数

\[(a + 1) ^ p = a ^ p + \frac{p!}{1!(p - 1)!}a^{p - 1} + \frac{p!}{2!(p - 2)!}a^{p - 2} + ... + \frac{p!}{(p - 1)!(1)!}a^{p - 1} + 1 \]

• 由于组合数的性质，分子一定能整除分母，又因为 \(p\) 是素数且不存在有组合数的分母中含 \(p\) ，所以组合数的结果因数中一定含 \(p\) ，

  而在模 \(p\) 意义下，这些组合数就会变成 0，所以可以进一步化简

\[(a + 1) ^ p = a ^ p + 1 = a + 1 \]

• 故，得证

因此对于任意的 \(a \in N\) 都满足 \(a ^ p \equiv a\)

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扩展欧几里得定理

• 扩展欧几里得定理(exgcd)本质是对裴蜀定理的求解

  即给定整数 \(a, b\) ，求一组整数 \(x, y\) 满足 \(ax + by = gcd(a, b)\)

前置知识：欧几里得定理（辗转相除）

实现过程

• 根据欧几里得定理 \(gcd(a,b)=gcd(b,a \; mod \; b)\) 可得

\[bx_1+(a\; mod\; b)y_1=gcd(a,b) \]

• 又因为 $a ; mod ; b = a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b $ ， 所以

\[bx_1+(a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b)y_1=gcd(a,b) \]

• 展开整理

\[ay_1 + b(x_ 1 - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1) = gcd(a, b) \]

• 所以得到

\[x = y_1, y = x_ 1 - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1 \]

然后不断递归即可