高中天体物理杂记

\[\def\A{\approx} \def\M{\mathrm} \def\B{\mathbf} \def\D{\mathrm d} \def\*{\times} \def\px{\parallel} \def\cz{\perp} \]

第三宇宙速度推导

记号与已知常数：

• 地球质量 \(M_e\A 6\* 10^{24}\text{ kg}\)。
• 地球半径 \(r_e\A 6.4\* 10^3\text{ km}\)。
• 太阳质量 \(M_s\A 2\* 10^{30}\text{ kg}\)。
• 地球公转轨道半径 \(R\A 1.5\* 10^8\text{ km}\)。
• 地球的脱离速度（即第二宇宙速度）\(v_2=\displaystyle\sqrt{\frac{2GM_e}{r_e}}\A 11.2\text{ km/s}\)。
• 第三宇宙速度为 \(v_3\)，也就是我们要求的量。
• 地球公转速度 \(v_e=\displaystyle\sqrt{\frac{GM_s}{R}}\A 29.8\text{ km/s}\)。

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首先给出正确做法。

分为 脱离地球引力 和 脱离太阳引力 两个过程。

第一个过程以地球为参考系。设脱离地球引力后相对地球速度为 \(v\)，根据机械能守恒（再次强调这里的动能与引力势能都相对于地球），有：

\[\frac 12 mv^2+0=\frac 12mv_3^2-\frac{GM_em}{r_e} \]

整理得：

\[v^2=v_3^2-v_2^2 \]

第二个过程以太阳为参考系。换系，航天器初始速度 \(v'=v+v_e\)，根据机械能守恒（能量相对于太阳），有：

\[0+0=\frac 12mv'^2-\frac{GM_sm}{R} \]

解得 \(v'=\displaystyle\sqrt{\frac{2GM_s}{R}}\A 42.2\text{ km/s}\)。

所以 \(v=v'-v_e\A 12.4\text{ km/s}\)，所以 \(v_3=\sqrt{v^2+v_2^2}\A 16.7\text{ km/s}\)。

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主播主播你说的都很对，但是为什么要这么麻烦地分两个过程，还要用不同参考系做呢？？

首先这整个过程肯定没法全都在地球参考系下分析，因为涉及到逃离太阳的引力束缚。

那么为什么不直接全用太阳参考系呢？不妨试一试。

对整个过程列机械能守恒，有：

\[\frac 12 m(v_3+v_e)^2-\frac{GM_em}{r_e}-\frac{GM_sm}{R}=0+0 \]

解得 \(v_3\A 13.8\text{ km/s}\)。

欸，多系忒？怎么错完了。

其实是因为忽略了地球的动能变化。虽然发射过程中地球速度变化极小，但它质量大啊！事实上地球的动能变化量是 \(10^{10}\) 量级的，显然不能忽略。

但是求出地球动能的变化量有点麻烦，所以我们选择更为简便的做法。

反观之前给出的正确做法，第二个过程完全不影响地球，地球的动能（相对于太阳）变化只发生在第一个过程，所以我们选用了地球做参考系，那么地球的动能（相对于地球）就没有变化，受到影响的只有航天器的速度。但我们知道参考系（地球）的速度变化是极小的，这里忽略不计就不会造成什么影响。

总而言之，我们需要注意的是，当一个大质量天体速度有微小变化时，如果以它为参考系，那么它的质量就不会带来问题（即动能不变），速度变化就能忽略；如果不以它为参考系，那么它的质量就会将速度变化量放大，也就要考虑它的动能变化了。

开普勒第二定律证明

将行星速度分解为沿矢径方向的 \(v_\px\) 和垂直矢径方向的 \(v_\cz\)。

我们定义 掠面速度 为 \(\frac{\D S}{\D t}\)，其中 \(\D S\) 为单位时间 \(\D t\) 内矢径扫过的面积。可以发现开普勒第二定律等价于掠面速度为定值。

由于时间极短，可将扫过的部分近似看作三角形，可得 \(\D S=\frac 12 rv_\cz\D t\)，其中 \(r\) 为此时矢径长度。那么我们只需证明 \(rv_\cz\) 为定值即可。

写成矢量形式，则 \(rv_\cz=\B r\*\B v\)，对 \(t\) 求导：

\[\frac{\D(\B r\*\B v)}{\D t}=\frac{\D\B r}{\D t}\*\B v + \frac{\D\B v}{\D t}\*\B r =\B v\*\B v+\B a\*\B r=0 \]

这是因为 \(\B v, \B v\) 共线，\(\B a, \B r\) 共线。

于是 \(\B r\*\B v\) 为定值，开普勒第二定律得证。

开普勒第二定律本质上是角动量守恒定律在天体系统中的应用。角动量 \(\B L=m\B r\*\B v\)。

椭圆轨道相关

设 \(m\) 绕 \(M\) 做椭圆运动的轨道方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，焦距为 \(2c\)，则有 \(a^2=b^2+c^2\)。

对近日点和远日点列机械能守恒和角动量守恒（开二），得到一个方程组，解之可得近日点和远日点速度分别为

\[v_{\max}=\sqrt{ \frac{GM(a+c)}{a(a-c)} }, v_{\min}=\sqrt{ \frac{GM(a-c)}{a(a+c)} } \]

同理亦可求得椭圆与 \(y\) 轴交点（记为 \(B\)）处的速度为 \(v_B=\sqrt{\dfrac{GM}a}\)。

• 代入机械能式子中，可得机械能为

\[E=\frac 12 mv^2-\frac{GMm}r=-\frac{GMm}{2a} \]

• 代入掠面速度式子中，可得掠面速度为

\[\frac{\D S}{\D t}=\frac 12\B r\*\B v=\frac 12 b\sqrt{\frac{GM}a} \]

• 周期为

\[T=\frac{\pi ab}{\frac 12 b\sqrt{\frac{GM}a}}=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}} \]

• 端点处曲率半径为 \(\dfrac{b^2}a\)，\(B\) 点处曲率半径为 \(\dfrac{a^2}b\)。
  附一个曲率半径计算公式：

\[\rho=\left| \frac{(1+y'^2)^{\frac 32}}{y''} \right| \]