玩 TeXnique 玩的

问题一：求证 \(\sum\limits_{i=1}^\infty \dfrac 1{i^2}=\dfrac{\pi^2}6\)。

代数构造（泰勒展开）

证明：令 \(f(x)=\dfrac{\sin x}x\)，则有 \(f(x)\) 的泰勒展开：

\[f(x)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots \]

又有根据 \(f(x)=0\) 的根将其因式分解：

\[\def\L{\left(} \def\R{\right)} \begin{aligned} f(x) &=\L 1-\frac x \pi\R\L 1+\frac x\pi\R\L 1-\frac x{2\pi}\R\L 1+\frac x{2\pi}\R\cdots \\ &=\L 1-\frac{x^2}{\pi^2}\R \L 1-\frac{x^2}{4\pi^2}\R\cdots \end{aligned} \]

比对 \([x^2]f(x)\)，有：

\[-\frac 1{3!}=-\frac 1{\pi^2}-\frac 1{4\pi^2}-\cdots \]

也即

\[\frac 16=\sum_{i=1}^\infty \frac 1{i^2\pi^2} \]

所以

\[\sum_{i=1}^\infty\frac 1{i^2}=\frac{\pi^2}6 \]

几何构造

https://www.bilibili.com/video/BV1BW411x7DY

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问题二：求 \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\mathrm dx\) 的值。

常规做法（二重积分）

解：我们试求原式的平方，即

\[\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2}\mathrm dx\mathrm dy \]

由于有 \(x^2+y^2\) 项，进行极坐标系变换，令 \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)：

\[\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\mathrm dr\mathrm d\theta \]

\(re^{-r^2}\) 的原函数为 \(-\frac 12 e^{-r^2}\)，所以上式等于：

\[\int_0^{2\pi}\left(-\frac 12 e^{-\infty^2}+\frac 12 e^{-0^2}\right)\mathrm d\theta = \int_0^{2\pi}\frac 12\mathrm d\theta = \pi \]

故原式 \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\mathrm dx=\sqrt\pi\)。

参考资料：https://zhuanlan.zhihu.com/p/689823925。

几何理解

https://www.bilibili.com/video/av529369202

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问题三：大二生之梦（Sophomore's Dream）：求证

1. \(\displaystyle\int_0^1 x^{-x}\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty n^{-n}\)

2. \(\displaystyle\int_0^1 x^x\mathrm dx=-\sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}\)

具体见 https://zh.wikipedia.org/zh-cn/二年級之夢。

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问题四：求 \(\displaystyle\sum_{i=2}^\infty \frac 1{\sum_{j=1}^i j}\) 的值。

拼尽全力无法战胜小学奥数题

题解

解：首先将式子变成 \(2\sum_{i=2}^\infty\frac 1{i(i+1)}\)。

那么只需求 \(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=2}^n\frac 1{i(i+1)}\) 即可。

使用小学学过的裂项相消法，式子等于 \(\frac 12-\frac 13+\frac 13-\frac 14+\cdots+\frac 1n-\frac 1{n+1}=\frac 12-\frac 1{n+1}\)

所以原式等于 \(1\)。

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问题五：波尔文积分（Borwein integral）

\[\int_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}x\frac{\sin(x/3)}{x/3}\mathrm dx= \cdots= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}x\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13}\mathrm dx= \frac\pi 2 \]

但这一规律从下一项（乘到 \(x/15\)）开始就无效了，变成了一个巨大丑陋东西。
具体式子及证明略去（