DP 优化
斜率优化
用于优化转移方程中含有 \(i,j\) 相关项的乘积的最优化 dp。即形如：\(f_i\gets\min\limits_{0\le j\lt i}f_j+A(i)B(j)+\dots\)
把式子改写一下：\(-A(i)B(j)+f_i+\dots=f_j+\dots\)（等号左边的省略号应只与 \(i\) 有关，右边则应只与 \(j\) 有关）。
将 \((B(j), f_j+\dots)\) 当作坐标系中的一个点，那么一次转移就相当于找出一个点使得经过它的斜率为 \(-A(i)\) 的直线的截距最小。
容易发现，可能成为决策点的点在一个下凸包上（若要最大化截距，则为上凸包）。假设当前 \(-A(i)=k\)，那么这个下凸包上斜率小于 \(k\) 和大于 \(k\) 的分界点就是决策点，作出决策之后再将当前点加入凸包即可。
情况一：横坐标单调，查找的斜率单调
显然地，用单调队列维护凸包即可。复杂度线性。
例题
情况二：横坐标单调，查找的斜率不单调
平凡地使用单调栈维护凸包。由于凸包上的线段的斜率单调，可以每次在凸包上二分出决策点。复杂度线性对数。
例题
情况三：横坐标不单调
待补。
决策单调性
常见优化方法有两种：分治、决策队列。
分治
\(\operatorname{solve}(l,r,pl,pr)\) 表示 \([l,r]\) 的决策点在 \([pl,pr]\) 中。暴力找出 \(mid\) 的决策点 \(pm\)，再递归进左右两端继续 dp，即 \(\operatorname{solve}(l,mid-1,pl,pm),\operatorname{solve}(mid+1,r,pm,pr)\)。
显然，一层转移的复杂度是线性对数。
优点：实现简单易懂；对于不易直接计算的区间贡献，只要能较快地完成指针的一次移动，就能用类似于莫队的方法处理，复杂度是对的。
缺点：决策必须是在所有转移前就已处理好的，即只能从一层转移到下一层，无法同层转移（无法实现 \(f\) 转移到 \(f\)）。
例题
决策队列
维护一个存放三元组 \((j,l,r)\) 的队列，表示 \(j\) 是 \([l,r]\) 的最优决策点。
每次从队头取出当前的 \(i\) 的最优决策点 \(j\) 进行转移，并将其 \(l\) 更新为 \(i\)。接着考虑如何将 \(i\) 加入队列。
首先将队尾所有 \([l,r]\) 全都不优的决策弹出，然后在此时的队尾的 \([l,r]\) 中二分出一个点 \(p\)，使得在这之前队尾的 \(j\) 更优，在这之后 \(i\) 更优。更新队尾区间为 \((j,l,p-1)\) 并将 \((i,p,n)\) 加入队列即可。
例题
常见判定方法：四边形不等式
二元函数 \(w(i,j)\) 满足四边形不等式，当且仅当 \(\forall a\le b\le c\le d, w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)。
这个式子可以简记为 包含劣于相交。
另一种形式：\(\forall a\le b, w(a,b+1)+w(a+1,b)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)\)。
结论一
对于转移方程 \(f_i\gets\min\limits_{0\le j\lt i}f(j)+w(j,i)\)，若 \(w\) 满足四边形不等式，则 \(f\) 具有决策单调性。
这可以将一层 \(O(n^2)\) 的转移优化到 \(O(n\log n)\)。
结论二
对于一类区间 dp 方程 \(f_{l,r}\gets\min\limits_{l\le i\lt r}f_{l,i}+f_{i+1,r}+w(l,r)\)，若其满足以下条件：
- \(w\) 满足四边形不等式
- \(f_{i,i}=w(i,i)\)
- \(\forall a\le b\le c\le d, w(a,d)\ge w(b,c)\)
则：
- \(f\) 也满足四边形不等式
- \(\forall l\lt r, p_{l,r-1}\le p_{l,r}\le p_{l+1,r}\)
这可以将 \(O(n^3)\) 的区间 dp 优化到 \(O(n^2)\)。
浙公网安备 33010602011771号