高等数学需要记录的点

目录

• 一些定理
  • 费马引理
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
    • 拉格朗日中值定理在参数方程中的表示方式
  • 柯西中值定理
  • 零点定理
  • 介值定理
  • 定积分中值定理

一些定理

费马引理

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 有定义，并且在 \(x_0\) 处可导，如果对 \(\forall x \in U(x_0)\) 有

\[f(x)\le f(x_0) \hspace{1em} (或f(x)\ge f(x_0)) \]

则 \({f}'(x_0)=0\)

罗尔定理

如果 \(f(x)\) 满足：

1. 在闭区间 \([a,b]\) 连续
2. 在开区间 \((a,b)\) 可导
3. \(f(a)=f(b)\) ，在区间端点处的函数值相等

则在 \((a,b)\) 中至少有一点 \(\xi (a<\xi<b)\) ，使得 \({f}'(\xi)=0\)

拉格朗日中值定理

如果 \(f(x)\) 满足：

1. 在闭区间 \([a,b]\) 连续
2. 在开区间 \((a,b)\) 可导

则在 \((a,b)\) 中至少有一点 \(\xi (a<\xi<b)\) ，使等式

\[f(b)-f(a)={f}'(\xi)(b-a) \]

或写作

\[{f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

成立

拉格朗日中值定理在参数方程中的表示方式

对于参数方程

\[\left\{\begin{matrix} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{matrix}\right. \]

则有导数 \(\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi}'(t)}{{\varphi}'(t)}\)

弦 \(AB\) 的斜率为 \(\frac{\psi(b)-\psi(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}\)

由拉格朗日中值定理， \(\exists \xi\) ， \(\frac{\psi(b)-\psi(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}=\frac{{\psi}'(t)}{{\varphi}'(t)}\)

柯西中值定理

如果 \(f(x)\) 和 \(F(x)\) 满足：

1. 在闭区间 \([a,b]\) 连续
2. 在开区间 \((a,b)\) 可导
3. \(\forall x \in (a,b)\) ， \({F}'(x)\ne 0\)

则至少 \(\exists\) 一点 \(\xi \in (a,b)\) ， \(\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{{f}'(\xi)}{{F}'(\xi)}\)

零点定理

\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号，即 \(f(a)\cdot f(b)<0\)
则至少存在一点 \(\xi \in (a,b)\) ，使 \(f(\xi)=0\)

介值定理

\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续， \(f(a)=A\) ， \(f(b)=B\) ，且 \(A\ne B\)
对 \(A\) 与 \(B\) 间的任意数 \(C\) ，至少 \(\exists\) 一点 \(\xi \in (a,b)\) ，使 \(f(\xi)=C\)

定积分中值定理

如果函数 \(f(x)\) 在积分区间 \([a,b]\) 上连续，那么在 \([a,b]\) 上至少存在一个点 \(\xi\) ，使下式成立：

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a) \hspace{1em} (a\le \xi \le b) \]