线代需要记录的点

次对角线n阶行列式

\[\begin{vmatrix} & & & a_1 \\ & & a_2 & * \\ & \dots & * & * \\ a_n & * & * & * \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2 \dots a_n \]

\[\begin{vmatrix} * & * & * & a_1 \\ * & * & a_2 & \\ * & \dots & & \\ a_n & & & \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2 \dots a_n \]

\[\begin{vmatrix} & & & a_1 \\ & & a_2 & \\ & \dots & & \\ a_n & & & \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2 \dots a_n \]

反对称矩阵的行列式

\(A_n\) 为反对称矩阵，则 \(A^T=-A\) ，其元素满足

\[a_{ij}=-a_{ji} \hspace{1em} i,j=1,2,...,n \]

有结论：反对称矩阵行列式值永远非负，且 \(n\) 为奇数时，行列式值为 \(0\)

证：

\(n\) 为奇数时， \(A^T=-A\) , 此时 \(|A^T|=(-1)^n|A|=-|A|\)

\(\Longrightarrow |A^T|=|A|=-|A| \Longrightarrow |A|=0\)

\(n\) 为偶数时， |A|=0 时显然

给出命题：

异乘变零定理

\(n\) 阶行列式 \(D=|a_{ij}|\) 的某一行（列）的所有元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式的乘积之和等于零

\[a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+ \dots +a_{in}A_{kn}=0 \hspace{1em} (i \ne k) \]

或

\[a_{1j}A_{1t}+a_{2j}A_{2t}+ \dots +a_{nj}A_{nt}=0 \hspace{1em} (j \ne t) \]

拉普拉斯定理

在 \(n\) 阶行列式中，任意取定 \(k\) 行（列） \((1 \le k \le n-1)\) 。则由这 \(k\) 行（列）元素所组成的一切 \(k\) 阶子式 \(N_1,N_2,\dots,N_t \hspace{1em} (t=C^k_n)\) 与它们对应的代数余子式 \(A_1,A_2,\dots,A_t\) 乘积之和等于行列式 \(D\) ，即

\[D=N_1A_1+N_2A_2+ \dots +N_tA_t \]

性质有：

有两方阵 \(A_{m\times m} , B_{n\times n}\)

\[\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A|\cdot|B| \hspace{3em} \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A|\cdot|B| \hspace{3em} \begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A|\cdot|B| \]

\[\begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|\cdot|B| \hspace{3em} \begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|\cdot|B| \hspace{3em} \begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|\cdot|B| \]

范德蒙德行列式

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n}(x_i-x_j) \]

证：

由数学归纳法证明

当 \(n=2\) 时，有 \(D_2= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix}=x_2-x_1 \) 成立

假设对 \(n-1\) 阶范德蒙德行列式结论成立，下证对于 \(n\) 阶范德蒙德行列式结论也成立

从 \(n-1\) 行开始，自下而上，每一行都乘以 \(-x_1\) 并且加到下一行，得到

\[D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \dots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \dots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \]

按第一列展开，得

\[\begin{split} D_n &= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1 \\ x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \dots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \dots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1) \dots (x_n-x_1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_2 & x_3 & \dots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \dots & x_n^{n-2} \end{vmatrix} \end{split} \]

最后的行列式是 \(n-1\) 阶范德蒙德行列式，由归纳假设，得

\[\begin{split} D_n & = (x_2-x_1)(x_3-x_1) \dots (x_n-x_1) \cdot (x_3-x_2) \dots (x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1}) \\ & = \prod_{1 \le j < i \le n}(x_i-x_j) \end{split} \]

对称矩阵和反对称矩阵

对称矩阵

若矩阵 \(A\) 满足 \(A^T=A\) ，则称 \(A\) 为对称矩阵

对称矩阵还可定义为：

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵， \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)

若 \(a_{ij}=a_{ji} \hspace{1em} i,j=1,2,...,n\)

则称 \(A\) 为对称矩阵

故有

\[A=(a_{ij})_{n\times n} 为对称矩阵 \Longleftrightarrow A^T=A \Longleftrightarrow a_{ij}=a_{ji} \]

有结论：

（1）若 \(A,B\) 为同阶对称矩阵，则 \(A+B,A-B\) 仍为对称矩阵

（2）若 \(A\) 为对称矩阵，则 \(kA,A^m\) 仍为对称矩阵（ \(k\) 为常数， \(m\) 为正整数）

（3）若 \(A,B\) 为同阶对称矩阵，则 \(AB\) 为对称矩阵的充要条件是 \(AB=BA\)

（4）对任意 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，则 \(A^TA,AA^T\) 均为对称矩阵

反对称矩阵

若矩阵 \(A\) 满足 \(A^T=-A\) ，则称 \(A\) 为反对称矩阵

反对称矩阵还可定义为：

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵， \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)

若 \(a_{ij}=-a_{ji} \hspace{1em} i,j=1,2,...,n\)

则称 \(A\) 为反对称矩阵

故有

\[A=(a_{ij})_{n\times n} 为反对称矩阵 \Longleftrightarrow A^T=-A \Longleftrightarrow a_{ij}=-a_{ji} \]

有结论：

（1）若 \(A,B\) 为同阶反对称矩阵，则 \(A+B,A-B\) 仍为反对称矩阵

（2）若 \(A\) 为反对称矩阵， \(k\) 为常数，则 \(kA\) 仍为反对称矩阵

（3）若 \(A\) 为反对称矩阵， \(m\) 为正整数，则 \(A^m\) 为\(\begin{cases} 对称矩阵， k 为偶数\\ 反对称矩阵， k 为奇数 \end{cases}\)

转置矩阵、方阵行列式、方阵伴随矩阵、逆矩阵

转置矩阵的性质

（1） \((A^T)^T=A\)

（2） \((A+B)^T=A^T+B^T \hspace{3em} (A-B)^T=A^T-B^T\)

（3） \((kA)^T=kA^T \hspace{1em} (k为常数)\)

（4） \((AB)^T=B^TA^T\)

（5） \((A_1A_2 \dots A_m)^T=A_m^T \dots A_2^TA_1^T\)

（6） \((A^k)^T=(A^T)^k \hspace{1em} (k为正整数)\)

方阵行列式的性质

（1） \(|A^T|=|A|\)

（2） \(|kA|=k^n|A| \hspace{1em} (k为常数)\)

（3） \(|AB|=|A|\cdot|B|\)

（4） \(|A^m|=|A|^m \hspace{1em} (m为正整数)\)

（5） \(|E|=1 \hspace{1em} (E为单位矩阵)\)

注意： \(|O|=0\) 有问题，必须要是零方阵才行

方阵伴随矩阵的性质

（1）对任意方阵 \(|A|\) ，有 \(AA^*=A^*A=|A|E\)

（2）若 \(|A|\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \(|A^*|=|A|^{n-1}\)

（3）若 \(A\) 为方阵，则 \((A^T)^*=(A^*)^T\)

（4）若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵， \(k\) 为常数，则 \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)

（5）对于二阶方阵 \(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) ，则 \(A^*=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

主对角互换，副对角变号

逆矩阵的性质

（1）若方阵 \(A\) 可逆，则其逆矩阵 \(A^{-1}\) 也可逆，且 \((A^{-1})^{-1}=A\)

（2）若 \(A\) 可逆，则 \(A^T\) 也可逆，且 \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)

（3）若 \(A\) 可逆， \(k\) 为非零常数，则 \(kA\) 也可逆，且 \((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)

（4）若 \(A\) 可逆，则 \(A^*\) 也可逆，且 \((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A\)

（5）若 \(A,B\) 为同阶可逆方阵，则 \(AB\) 也可逆，且 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

（6）若 \(A\) 可逆， \(m\) 为正整数，则 \(A^m\) 也可逆，且 \((A^m)^{-1}=(A^{-1})^m\)

（7）若 \(A\) 可逆，则 \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)

（8）若 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)

总结

朝外提

\[|kA|=k^n|A| \]

\[(kA)^*=k^{n-1}A^* \]

\[(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} \]

交换顺序

\[(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T \]

\[(A^*)^T=(A^T)^* \]

\[(A^*)^{-1}=(A^{-1})^* \]

关于 \(AB\)

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]

\[(AB)^T=B^TA^T \]

初等矩阵

即由单位矩阵 \(E\) 经过一次初等行（列）变换所得到的矩阵

三种类型

（1）交换单位矩阵 \(E\) 的第 \(i,j\) 两行（列）得到初等矩阵 \(E(ij)\)

\[E(ij) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & \\ & & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 & & i行 \\ & & \vdots & 1 & & & \vdots & & \\ & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & \\ & & \vdots & & & 1 & \vdots & & \\ & & 1 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & & j行 \\ & & & & & & & \ddots & \\ & & i列 & & & & j列 & & 1 \end{bmatrix} \]

（2）用非零数 \(k\) 乘单位矩阵 \(E\) 的第 \(i\) 行（列）得到初等矩阵 \(E(i(k))\)

\[E(i(k)) = \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & k & & i行 \\ & & & \ddots & \\ & & i列 & & 1 \end{bmatrix} \]

（3）把单位矩阵 \(E\) 的第 \(j\) 行的 \(l\) 倍加到第 \(i\) 行得到初等矩阵 \(E(ij(l))\)

\[E(ij(l)) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & l & & i行 \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & j行 \\ & & & & & \ddots & \\ & & i列 & & j列 & & 1 \end{bmatrix} \]

初等矩阵的性质

（1）初等矩阵的行列式都不等于零

\[|E(ij)|=-1 \hspace{3em} |E(i(k))|=k \hspace{3em} |E(ij(l))|=1 \]

（2）初等矩阵的转置矩阵仍为同种类型的初等矩阵

\[E(ij)^T=(ij) \hspace{3em} E(i(k))^T=E(i(k)) \hspace{3em} E(ij(l))^T=E(ji(l)) \]

（3）初等矩阵均可逆，且初等矩阵的逆矩阵仍为同种类型的初等矩阵

\[E(ij)^{-1}=(ij) \hspace{3em} E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k})) \hspace{3em} E(ij(l))^{-1}=E(ij(-l)) \]

初等矩阵与矩阵的初等变换的关系

设 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵，则

对 \(A\) 进行一次初等行变换得到的矩阵，等同于用同种类型的 \(m\) 阶初等矩阵左乘 \(A\)

对 \(A\) 进行一次初等列变换得到的矩阵，等同于用同种类型的 \(n\) 阶初等矩阵右乘 \(A\)

分块矩阵的逆矩阵

口诀：主不变，副对调，左行右列取负号

\[\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{pmatrix} \hspace{3em} \begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix} \hspace{3em} \begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix} \]

\[\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & A^{-1} \\ B^{-1} & O \end{pmatrix} \hspace{3em} \begin{pmatrix} O & A \\ B & C \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -A^{-1}CB^{-1} & A^{-1} \\ B^{-1} & O \end{pmatrix} \hspace{3em} \begin{pmatrix} C & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & A^{-1} \\ B^{-1} & -B^{-1}CA^{-1} \end{pmatrix} \]

posted @ 2025-12-14 01:24 Ac1d- 阅读(2) 评论(0) 收藏举报

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