线代需要记录的点
次对角线n阶行列式
反对称矩阵的行列式
\(A_n\) 为反对称矩阵，则 \(A^T=-A\) ，其元素满足
有结论：反对称矩阵行列式值永远非负，且 \(n\) 为奇数时，行列式值为 \(0\)
证：
\(n\) 为奇数时， \(A^T=-A\) , 此时 \(|A^T|=(-1)^n|A|=-|A|\)
\(\Longrightarrow |A^T|=|A|=-|A| \Longrightarrow |A|=0\)
\(n\) 为偶数时， |A|=0 时显然
给出命题：
异乘变零定理
\(n\) 阶行列式 \(D=|a_{ij}|\) 的某一行（列）的所有元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式的乘积之和等于零
或
拉普拉斯定理
在 \(n\) 阶行列式中，任意取定 \(k\) 行（列） \((1 \le k \le n-1)\) 。则由这 \(k\) 行（列）元素所组成的一切 \(k\) 阶子式 \(N_1,N_2,\dots,N_t \hspace{1em} (t=C^k_n)\) 与它们对应的代数余子式 \(A_1,A_2,\dots,A_t\) 乘积之和等于行列式 \(D\) ，即
性质有：
有两方阵 \(A_{m\times m} , B_{n\times n}\)
范德蒙德行列式
证：
由数学归纳法证明
当 \(n=2\) 时，有 \(D_2= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix}=x_2-x_1 \) 成立
假设对 \(n-1\) 阶范德蒙德行列式结论成立，下证对于 \(n\) 阶范德蒙德行列式结论也成立
从 \(n-1\) 行开始，自下而上，每一行都乘以 \(-x_1\) 并且加到下一行，得到
按第一列展开，得
最后的行列式是 \(n-1\) 阶范德蒙德行列式，由归纳假设，得
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵
若矩阵 \(A\) 满足 \(A^T=A\) ，则称 \(A\) 为对称矩阵
对称矩阵还可定义为：
设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵， \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)
若 \(a_{ij}=a_{ji} \hspace{1em} i,j=1,2,...,n\)
则称 \(A\) 为对称矩阵
故有
有结论：
（1）若 \(A,B\) 为同阶对称矩阵，则 \(A+B,A-B\) 仍为对称矩阵
（2）若 \(A\) 为对称矩阵，则 \(kA,A^m\) 仍为对称矩阵（ \(k\) 为常数， \(m\) 为正整数）
（3）若 \(A,B\) 为同阶对称矩阵，则 \(AB\) 为对称矩阵的充要条件是 \(AB=BA\)
（4）对任意 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，则 \(A^TA,AA^T\) 均为对称矩阵
反对称矩阵
若矩阵 \(A\) 满足 \(A^T=-A\) ，则称 \(A\) 为反对称矩阵
反对称矩阵还可定义为：
设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵， \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)
若 \(a_{ij}=-a_{ji} \hspace{1em} i,j=1,2,...,n\)
则称 \(A\) 为反对称矩阵
故有
有结论：
（1）若 \(A,B\) 为同阶反对称矩阵，则 \(A+B,A-B\) 仍为反对称矩阵
（2）若 \(A\) 为反对称矩阵， \(k\) 为常数，则 \(kA\) 仍为反对称矩阵
（3）若 \(A\) 为反对称矩阵， \(m\) 为正整数，则 \(A^m\) 为\(\begin{cases} 对称矩阵， k 为偶数\\ 反对称矩阵， k 为奇数 \end{cases}\)
转置矩阵、方阵行列式、方阵伴随矩阵、逆矩阵
转置矩阵的性质
（1） \((A^T)^T=A\)
（2） \((A+B)^T=A^T+B^T \hspace{3em} (A-B)^T=A^T-B^T\)
（3） \((kA)^T=kA^T \hspace{1em} (k为常数)\)
（4） \((AB)^T=B^TA^T\)
（5） \((A_1A_2 \dots A_m)^T=A_m^T \dots A_2^TA_1^T\)
（6） \((A^k)^T=(A^T)^k \hspace{1em} (k为正整数)\)
方阵行列式的性质
（1） \(|A^T|=|A|\)
（2） \(|kA|=k^n|A| \hspace{1em} (k为常数)\)
（3） \(|AB|=|A|\cdot|B|\)
（4） \(|A^m|=|A|^m \hspace{1em} (m为正整数)\)
（5） \(|E|=1 \hspace{1em} (E为单位矩阵)\)
注意： \(|O|=0\) 有问题，必须要是零方阵才行
方阵伴随矩阵的性质
（1） 对任意方阵 \(|A|\) ，有 \(AA^*=A^*A=|A|E\)
（2） 若 \(|A|\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \(|A^*|=|A|^{n-1}\)
（3） 若 \(A\) 为方阵，则 \((A^T)^*=(A^*)^T\)
（4） 若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵， \(k\) 为常数，则 \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)
（5） 对于二阶方阵 \(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) ，则 \(A^*=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
主对角互换，副对角变号
逆矩阵的性质
（1） 若方阵 \(A\) 可逆，则其逆矩阵 \(A^{-1}\) 也可逆，且 \((A^{-1})^{-1}=A\)
（2） 若 \(A\) 可逆，则 \(A^T\) 也可逆，且 \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
（3） 若 \(A\) 可逆， \(k\) 为非零常数，则 \(kA\) 也可逆，且 \((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
（4） 若 \(A\) 可逆，则 \(A^*\) 也可逆，且 \((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A\)
（5） 若 \(A,B\) 为同阶可逆方阵，则 \(AB\) 也可逆，且 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
（6） 若 \(A\) 可逆， \(m\) 为正整数，则 \(A^m\) 也可逆，且 \((A^m)^{-1}=(A^{-1})^m\)
（7） 若 \(A\) 可逆，则 \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)
（8） 若 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)
总结
朝外提
交换顺序
关于 \(AB\)
初等矩阵
即由单位矩阵 \(E\) 经过一次初等行（列）变换所得到的矩阵
三种类型
（1）交换单位矩阵 \(E\) 的第 \(i,j\) 两行（列）得到初等矩阵 \(E(ij)\)
（2）用非零数 \(k\) 乘单位矩阵 \(E\) 的第 \(i\) 行（列）得到初等矩阵 \(E(i(k))\)
（3）把单位矩阵 \(E\) 的第 \(j\) 行的 \(l\) 倍加到第 \(i\) 行得到初等矩阵 \(E(ij(l))\)
初等矩阵的性质
（1）初等矩阵的行列式都不等于零
（2）初等矩阵的转置矩阵仍为同种类型的初等矩阵
（3）初等矩阵均可逆，且初等矩阵的逆矩阵仍为同种类型的初等矩阵
初等矩阵与矩阵的初等变换的关系
设 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵，则
对 \(A\) 进行一次初等行变换得到的矩阵，等同于用同种类型的 \(m\) 阶初等矩阵左乘 \(A\)
对 \(A\) 进行一次初等列变换得到的矩阵，等同于用同种类型的 \(n\) 阶初等矩阵右乘 \(A\)
分块矩阵的逆矩阵
口诀：主不变，副对调，左行右列取负号
矩阵的秩的性质
（1） \(r(A)=r \hspace{1em} (r>0) \Longleftrightarrow\) 矩阵 \(A\) 中至少有一个 \(r\) 阶子式不等于零，而所有的 \(r+1\) 阶子式全等于零（或无 \(r+1\) 阶子式）
（2） \(r(A)\ge r \hspace{1em} (r>0) \Longleftrightarrow\) 矩阵 \(A\) 中至少有一个 \(r\) 阶子式不等于零
（3） \(r(A)< r \hspace{1em} (r>0) \Longleftrightarrow\) 矩阵 \(A\) 中所有 \(r\) 阶及 \(r\) 阶以上子式全等于零
（4） \(r(A)=r(A^T) \hspace{1em},\hspace{1em} r(A)=r(-A) \hspace{1em},\hspace{1em} r(kA)=r(A) \hspace{1em},\hspace{1em} (k \ne 0)\)
（5） \(r(A)=0 \Longleftrightarrow A=O\)
\(r(A) \ge 0 \Longleftrightarrow A\ne O\)
（6） 若 \(A \ne O\) ，且 \(A\) 的任意两行（列）元素对应成比例 \(\Longleftrightarrow r(A)=1\)
（7） 若 \(A\) 为行阶梯形矩阵，则 \(r(A)=A\) 中 非零行的行数
（8） 初等变换不改变矩阵的秩，即若 \(A\cong B\) ，则 \(r(A)=r(B)\)
（9） 若 \(A,B\) 同型矩阵，则 \(A\cong B \Longleftrightarrow r(A)=r(B)\)
（10） 若 \(A\) 的标准型为 \(D=\begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \end{pmatrix}\) ，则 \(r(A)=D\) 中 \(1\) 的个数
（11） 若 \(A,B\) 同为 \(m\times n\) 的矩阵，则 \(r(A\pm B) \le r(A)+r(B)\)
（12） 若 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵， \(B\) 为 \(n\times s\) 矩阵，则
（13） 若 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵， \(B\) 为 \(n\times s\) 矩阵，且 \(AB=O\) ，则
（14） \(r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)=r(A^T)\)
（15） 若 \(A\) 为可逆方阵，则 \(r(AB)=r(B) \hspace{1em} ,\hspace{1em} r(CA)=r(C)\)
（16） 若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵 \((n\ge 2)\) ， \(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，则
向量组线性相关结论
定理1
向量组 \(\alpha_1 ,\alpha_2, \dots, \alpha_m(m\ge2)\) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余 \(m-1\) 个向量的线性组合
定理2
若向量组 \(\alpha_1 ,\alpha_2, \dots, \alpha_m\) 线性无关，而向量组 \(\alpha_1 ,\alpha_2, \dots, \alpha_m ,\beta\) 线性相关，则 \(\beta\) 可以由向量组 \(\alpha_1 ,\alpha_2, \dots, \alpha_m\) 线性表示，且表示法唯一
定理3
设有两个向量组： \((1) \alpha_1 ,\alpha_2, \dots, \alpha_r \hspace{3em} (2) \beta_1 ,\beta_2, \dots, \beta_s\)
向量组 \((1)\) 可由向量组 \((2)\) 线性表示，则 \((1)\) 中的每个向量均可由 \((2)\) 线性表示
定理4
\(n+1\) 个 \(n\) 维向量一定线性相关
替换定理
设有两个向量组： \((1) \alpha_1 ,\alpha_2, \dots, \alpha_r \hspace{3em} (2) \beta_1 ,\beta_2, \dots, \beta_s\)
若向量组 \((1)\) 线性无关，且向量组 \((1)\) 可由向量组 \((2)\) 线性表示，则 \(r\le s\)
替换定理逆否命题
设有两个向量组： \((1) \alpha_1 ,\alpha_2, \dots, \alpha_r \hspace{3em} (2) \beta_1 ,\beta_2, \dots, \beta_s\)
若向量组 \((1)\) 可由向量组 \((2)\) 线性表示，且 \(r> s\) ，则向量组 \((1)\) 必线性相关
多数向量可由少数向量表示，多数向量一定相关
极大线性无关组
（1）零向量组没有极大线性无关组
（2）线性无关的向量组，其极大线性无关组为向量组本身
（3）极大线性无关组不一定唯一
（4）向量组和他任一极大线性无关组等价
（5）同一向量组的两个极大线性无关组等价，所含向量个数相等
（6）若向量组 \((1)\) 可由向量组 \((2)\) 线性表示，则向量组 \((1)\) 的极大线性无关组可由向量组 \((2)\) 的极大线性无关组线性表示
（7）等价的向量组，其极大线性无关组也等价
怎么求？用矩阵初等变换法
1、向量不管是行向量还是列向量，均按列构成矩阵
2、只用行变化化为行简化阶梯形矩阵
例：求向量组 \(\alpha_1=(1,-2,2,-1),\alpha_2=(2,-4,8,0),\alpha_3=(-2,4,-2,3),\alpha_4=(3,-6,0,-6)\) 的一个极大线性无关组，并将其余向量用该线性无关组线性表示
去掉 \(0\) 行，找 \(1\) 所在列
即第一列和第二列，则 \(\alpha_1,\alpha_2\) 是极大线性无关组
而剩下的两列的剩余数字是线性表示时的系数
即
方程组解的判定
非齐次线性方程组 \(Ax=b\)
齐次线性方程组 \(Ax=0\)
对于 \(Ax=0\)
所以齐次线性方程组一定有解，至少有零解，即恒有 \(A \cdot O=0\)
推论1
对于齐次线性方程组 \(Ax=0\) 如果方程个数小于未知数个数，即 \(m<n\)，则 \(Ax=0\) 必有非零解
推论2
对于齐次线性方程组 \(Ax=0\) ，如果方程个数等于未知数个数（即系数矩阵 \(A\) 为方阵），则
线性方程组解的性质
齐次线性方程组
1、若 \(\xi_1,\xi_2\) 是齐次线性方程组 \(Ax=0\) 的两个解，则 \(\xi_1+\xi_2\) 也是 \(Ax=0\) 的解
2、若 \(\xi\) 是齐次线性方程组 \(Ax=0\) 的解，则对任意常数 \(k\) ， \(k\xi\) 也是 \(Ax=0\) 的解
3、若 \(\xi_1,\xi_2,\dots ,\xi_s\) 是齐次线性方程组 \(Ax=0\) 的解，则它们的线性组合
也是 \(Ax=0\) 的解
非齐次线性方程组
1、设 \(\eta_1,\eta_2\) 为非齐次线性方程组 \(Ax=b\) 的任意两个解，则 \(\eta_1-\eta_2\) 为对应导出组 \(Ax=0\) 的解
2、设 \(\eta\) 是非齐次线性方程组 \(Ax=b\) 的解， \(\xi\) 是其导出组 \(Ax=0\) 的任一解，则 \(\eta +\xi\) 是 \(Ax=b\) 的解
3、若 \(\eta^{*}(特解)\) 是 \(Ax=b\) 的一个解，则 \(Ax=b\) 的任一解可表示为 \(\xi+\eta^{*}\) ，其中 \(\xi\) 是其导出组 \(Ax=0\) 的解
复习到的容易忘的线性代数知识点
伴随矩阵
-
\(AA^{*}=A^{*}A=|A|E\)
-
\(A^{*}=|A|A^{-1}\)
-
对于特征值 \(\lambda\) ，\(A^{*}\) 的特征值为 \(\frac{|A|}{\lambda}\)
-
伴随矩阵的秩的性质
若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵 \((n\ge 2)\) ， \(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，则
正交矩阵
-
\(AA^T=E\)
-
\(|A|=\pm 1\)
-
\(A^{-1}=A^T\)
-
其特征值仅有 \(1\) 或 \(-1\) （在“自己的思考”中有证）
线性相关性
若向量组 \(\alpha_1.\alpha_2,\dots,\alpha_m\) 线性无关，而向量组 \(\alpha_1.\alpha_2,\dots,\alpha_m,\beta\) 线性相关，则 \(\beta\) 可由向量组 \(\alpha_1.\alpha_2,\dots,\alpha_m\) 线性表示，且表示法唯一
初等行变换法求逆矩阵
求 \(A\) 的逆矩阵
先证明其可逆，然后在A右方补一个同阶单位阵，变成 \((A,E)\)
只做初等行变换，将左边变为单位阵，则右边变为 \(A^{-1}\)
即 \((A,E)\overset{初等行变换}{\longrightarrow}(E,A^{-1})\)
相似矩阵
定义
设 \(A\) 与 \(B\) 都是 \(n\) 阶方阵，若存在可逆矩阵 \(P\) 使得
则称 \(A\) 与 \(B\) 相似，记作 \(A\sim B\)
性质
- 有传递性
- 若 \(A\sim B\) ，则 \(r(A)=r(B)\)
运用矩阵性质，左乘或右乘一个可逆矩阵不改变它的秩 - 若 \(A\sim B\) ，则 \(A\) 与 \(B\) 具有相同的特征行列式，即 \(|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\) ，从而有相同的特征值
- 若 \(A\sim B\) ，则 \(|A|=|B|\) 且 \(tr(A)=tr(B)\)
- 若 \(A\sim B\) ，则 \(A^{-1}\sim B^{-1}\) ， \(A^{*}\sim B^{*}\) ， \(A^{m}\sim B^{m}\) ， \(A^T\sim B^T\) ， \(kA\sim kB\) ， \(A+kE\sim B+kE\) ， \(f(A)\sim f(B)\)
⭐一般用 \(|A|\ne |B|\) 推出 \(A\nsim B\)
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