为何教材中逆矩阵的定义中默认AB=E，则BA=E？

首先，A和B必须是方阵。（因为不是方阵，也可做到AB=E）

此时利用伴随矩阵和原矩阵的关系，可以证明BA=E。

上面证明过程中，忘了说明A的行列式不等于0。不过这是很显然可证的。 

 

其次，补充一个在A和B不都是方阵时的小结论：

若AB是n阶矩阵，则BA不一定存在，若存在，不妨设为m阶矩阵。

注意，AB的秩 “在外径大于内径” 时，一定是小于外径的，即不满秩。

所以，AB和BA即便都存在，也不可能同时满秩。

所以，AB = E 和BA = E 不可能同时成立。

 

如果同时成立，只有一种可能：A和B都是同阶方阵。