泰勒公式 —— 又见泰勒之新悟

1.泰勒公式、泰勒展开、泰勒级数，三者是什么联系？

 

泰勒多项式是泰勒级数的有限项部分，泰勒级数是泰勒多项式的无穷项和。

泰勒公式是将函数表示为泰勒多项式与余项之和的形式，它建立了函数与泰勒多项式以及余项之间的联系。

而泰勒级数则是泰勒多项式的无限展开形式。当泰勒级数收敛且和函数等于原函数时，就可以用泰勒级数来表示函数。

 

泰勒多项式，是用多项式近似光滑函数的某点邻域的无穷小量，且可用余项补偿补差。

泰勒级数，是从级数理论出发，用幂级数的形式精确地表示函数的方法。

 

泰勒级数用来拟合函数的。

泰勒多项式是用来研究某点处的无穷小量，即研究无穷小的极限函数问题。

（此时泰勒展开不关注生效的最大区间，只关注邻域的存在性和有效性）

如果用泰勒多项式来近似函数，可用余项估计误差。

 

两者的理论基础和关注点不同。

只是形式上一致，本质是同一个东西在两个不同方向上的应用。

 

2.不可糊里糊涂的混为一谈！下面展开讨论。

 

首先，

泰勒展开和泰勒级数，二者几乎拥有完全一致的形式。

但是，理论基础、约束条件却有不同。（如何不同呢？见后文讨论）

 

//

泰勒展开，是先有任意原函数，再求泰勒展开。

泰勒展开的有效区间：包含展开点的n阶导连续的闭区间、n+1阶导在对应开区间上可导。

 

这个原函数，不必是泰勒级数的和函数。

只要加上余项补足误差，在有效区间内，等号就能成立。

但是，余项只有在展开点附近才够小、够精确。

 

近似效果，随着余项满足更高阶的条件时，在总的趋势上，误差会越来越小？

答：不是的。只是越来越接近泰勒级数了。但是，和原函数不一定越来越近。

这取决于x取什么值，即和展开点的距离。（当然从后往前看最终取决于展开点和奇点位置）

 

注意：

1.只有在余项收敛时，误差才会越来越小。

 

//

泰勒级数，也有假想的一个理想函数（和幂级数等值），再求其等值的幂级数的系数。

在满足等值的条件下，则函数必须在任意阶可导的约束区间中讨论。

（此结论由幂级数的性质即可知）

同时，也要始终在满足幂级数收敛的约束下讨论，否则函数无定义。

 

（扩展说，幂级数发散的本质是幂级数在复平面的极点，表现在实数轴上的影响。如果不懂复变函数，也不用深究，不影响理解。）

 

其次，

在条件允许的情况下，分析泰勒展开的极限情况，可以佐证泰勒级数的正确性。

如何佐证？

在泰勒展开补偿余项的情况下，等号是恒成立的。

假设函数可以无限满足泰勒展开的余项要求（此点和泰勒级数的任意阶可导是一样的）

如果余项的极限是0

则这个函数 形式上就是 泰勒级数。

然而，余项的极限是0这一点是有条件的。所以谈不上佐证。

 

3.为什么有人说，泰勒级数不一定收敛，即便收敛，也不一定收敛到原函数？

泰勒展开中的函数，是原函数。

泰勒级数在收敛情况下等值的函数，是泰勒级数和函数。

所以，本来就是两个东西。只有原函数刚好是泰勒级数的时候，泰勒级数才是所谓的收敛到原函数。既然是两个东西，故这种说法本就毫无意义。

 

我大概猜到了某些人想讨论的东西，故不妨这样说：

1）在发散域中，泰勒级数本来就没有定义，也就无法和原函数比较了。

2）在收敛域中，任何泰勒级数与原函数有细微高阶余项误差的函数，自然都和泰勒级数的和函数不同了。

 

4.有人说，可以跳过奇点，从而分段进行拟合。

 

是的，的确可以。但是要注意点什么？

 

Q1: 奇点是什么？和收敛半径有啥关系？

奇点就是复数域中存在，有时也能从实数域中观察到。

毕竟实数域只是复数域的投影的一个轴。

1/（1 + x^2）就是一个好例子。

 

幂级数，这种函数，它在实数域中的收敛半径，本质上取决于/等值于它的展开点在复平面上和和函数在该平面上的奇点的欧式距离。

（这个结论，目前记住即可）

 

推论：如果我们想要一个和函数可以精确拟合的区间长一点，则可以将展开点远离奇点。

 

5.

在泰勒展开时，求x的n阶无穷小时，系数是唯一确定的。

在泰勒级数时，求幂级数的n次项的系数，也是唯一确定的。