[题目小结] 可持久化数据结构

目录

• \(\text{[ONTAK 2010] Peaks}\)
  • 解法
  • 代码
• 训练士兵
  • 解法
  • 代码
• \(\text{Couple Trees}\)
  • 题目描述
  • 解法
• \(\text{JZOJ - 4616}\) 二进制的世界
  • 题目描述
  • 解法
• \(\text{K }\)个串
  • 解法
  • 代码
• \(\text{BZOJ - 4771 }\)七彩树
  • 解法
  • 代码

\(\text{[ONTAK 2010] Peaks}\)

解法

首先可以想到是 \(\rm Kruskal\) 重构树，问题转化为求重构树中某子树的第 \(k\) 大权值。

先开始想写线段树合并，后来发现要写可持久化，不然由于中间的版本将地址给了后面的版本，就不能查询中间版本了。

其实这题也可以用 \(\rm dfs\) 序解决，将子树转化成序列问题。对于本来就有的点，加入自己；对于每个重构树新增的点，记录 \(st,ed\)，最后查询这个区间中的答案即可。

代码

\(\text{Link.}\)

训练士兵

解法

将询问和修改差分。令修改 \((x,y,w)\) 表示将横纵坐标都分别大于 \(x,y\) 的点都加上 \(w\)。这样我们需要考虑 \((x,y,w)\) 对 \([1,1]-[i,j]\) 的贡献

\[\text{Ans}=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j (i-x+1)\cdot (j-y+1)\cdot w_{x,y} \]

\[=(i+1)(j+1)\cdot \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j w_{x,y}-(j+1)\cdot \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j x\cdot w_{x,y}-(i+1)\cdot \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j y\cdot w_{x,y}+\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j xy\cdot w_{x,y} \]

所以只需要维护四个变量即可。

由于是先修改再查询，我们可以不使用树套树，而是将 \(x,y\) 坐标离散化后，以 \(x\) 坐标为主席树的根，将 \(y\) 在主席树上维护。查询也是 \(\mathcal O(q\log n)\) 的。

代码

\(\text{Link.}\)

\(\text{Couple Trees}\)

题目描述

给定两棵大小均为 \(n\) 的树，它们共用相同的节点。保证 父亲的编号一定比儿子小。

有 \(m\) 个询问，每个询问为 \((x,y)\)，询问从树 \(1\) 的 \(x\)，树 \(2\) 的 \(y\) 开始向上走，能走到相同 \(\rm id\) 的最深的点。你需要输出这个点以及 \(x,y\) 到这个点的步数。

解法

可以先将树 \(1\) 来一个树剖，这样 \(x\) 到根的路径可以被表示成几段区间。对树 \(2\) 做主席树，儿子继承父亲的版本，在树 \(1\) 的 \(\text{dfn}_x\) 的地方插入 \(x\)。这样对于查询，我们可以在第 \(y\) 个版本的主席树中查询 \(x\) 到根路径被表示的区间，这是 \(\mathcal O(q\log^2 n)\) 的。

\(\text{JZOJ - 4616}\) 二进制的世界

题目描述

给定长为 \(n\) 的序列 \(a\)，你需要对于每个 \(i\in[2,n]\)，求出 \(a_i\text{ opt }a_j\) 的最大值，其中 \(j\in[1,i)\)，\(\text{opt}\in \{\text{or,and,xor}\}\)。

\(n\le 10^5,0\le a_i<65536\)。

解法

最朴素的暴力是记录数 \(x\) 是否出现过，\(\mathcal O(1)\) 插入，\(\mathcal O(2^{16})\) 询问。

我们可以增大插入时间，减少询问时间。令 \(f_{i,j}\) 为前 \(8\) 位为 \(i\)，后 \(8\) 位为 \(j\) 的数进行运算 后 \(8\) 位 的最大值（这里其实前/后没啥区别）。那么假设插入的数前后 \(8\) 位分别为 \(x,y\)，就有

\[f_{x,j}=\max\{f_{x,j},j\text{ opt }y\} \]

假设询问的数字前后 \(8\) 位分别为 \(x,y\)，就有

\[\text{Ans}=\max\big \{f_{i,y}+(i\text{ opt }x)\cdot 2^8\big \} \]

\(\text{K }\)个串

解法

题目是比较经典的堆的问题，因为 \(k\le 2\cdot 10^5\)，我们可以以 \(i\in[1,n]\) 作为右端点，先将右端点为 \(i\) 的最大子串塞进堆，取出堆顶，发现最大子串将左端点区间分成两段，在两段中各取最大值即可。

问题是如何快速维护右端点为 \(i\)，左端点在某一区间的最大子串。可以考虑以右端点为根建立主席树，左端点对应着树内下标。这样每次右移右端点 \(i\)，它的贡献就是在 \((lst_{a_i},i]\) 中加上 \(a_i\)。

实现上为了控制内存，写了个标记永久化（这样每次还是增加大概 \(\log n\) 个点），记录一下几个小 \(\rm bug\)：

• 在 ins() 函数中，我们不能将 \(\rm lazy\) 标记写成函数的递归传递，每次加上这个节点的 \(\rm lazy\)。因为在修改的时候，这个节点 \(o\) 的儿子可能不被修改覆盖，这个儿子就没有加上 \(\rm lazy\) 标记，更新 \(o\) 就会出错。最好的写法是修改时不将标记下传，在 pushUp() 时加上标记即可。这样后面 ask() 也更好办一点。
• 每次修改区间之后，不能直接将 \(rt_i\) 的最大值塞进堆。这也是写法的问题，因为 \(rt_i\) 是 \([1,n]\) 的最大值，而 \([i+1,n]\) 初始是 \(0\)，如果 \([1,i]\) 区间内的数都 \(<0\) 就会出错。

代码

\(\text{Link.}\)

\(\text{BZOJ - 4771 }\)七彩树

解法

树套树？似乎也不好处理颜色。题解的做法是以深度建立主席树，维护树上 \(\text{dfs}\) 序。插入时将节点按深度排序。假设处理到 \(x\)，那么 \(x\) 对到根的一条链都贡献 \(1\)，找到与其同色且先插入的点中的前驱 \(pre\) 与后继 \(nxt\)，那么 \(\text{lca}(pre,x),\text{lca}(nst,x)\) 的贡献就 \(-1\) 了，而且 \(\text{lca}(pre,nxt)\) 还要 \(+1\)。另外都已经在插入 \(pre,nxt\) 时被处理过了。

复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

代码

\(\text{Link.}\)