AtCoder Beginner Contest 213

目录

• \(\text{G - Connectivity 2}\)
  • 解法
  • 代码

\(\text{G - Connectivity 2}\)

解法

设 \(f(s)\) 是点集为 \(s\) 形成 全连通块 的个数，\(g(s)\) 是点集为 \(s\) 形成连通块的个数，\(k\) 的答案是 \(h(k)\)。

\[h(k)=\sum_{\{1,k\}\subseteq s\subseteq U} f(s)\cdot g(U-s) \]

对于每个 \(k\) 都能在 \(\mathcal O(2^n)\) 内计算。

如何求解 \(f,g\)？\(g\) 比较好算，假设 \(s\) 内包含可选边集为 \(e(s)\)，那么 \(g(s)=2^{|e(s)|}\)。可以在 \(\mathcal O(m\cdot 2^n)\) 内算出所有的 \(g\)。

关于 \(f\)，有：

\[f(s)=g(s)-\sum_{t\subsetneq s}f(t)\cdot g(s-t) \]

这个转移是 \(\mathcal O(3^n)\) 的。

代码

#include <cstdio>
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T>
inline T read(const T sample) {
	T x=0; char s; bool f=0;
	while((s=getchar())>'9' or s<'0')
		f|=(s=='-');
	while(s>='0' and s<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),
		s=getchar();
	return f?-x:x;
}

template <class T>
inline void write(const T x) {
	if(x<0) {
		putchar('-'),write(-x);
		return;
	}
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
}

const int mod=998244353,maxn=(1<<17);

int n,f[maxn],g[maxn],e[20][20],m,U;
int ans[20];

int qkpow(int x,int y) {
	int r=1;
	while(y) {
		if(y&1) r=1ll*r*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod; y>>=1;
	}
	return r;
}

int main() {
	n=read(9),m=read(9);
	int u,v;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		u=read(9),v=read(9);
		e[u][v]=e[v][u]=1;
	}
	U=(1<<n);
	for(int i=0;i<U;++i) {
		int e_cnt=0;
		for(int j=1;j<=n;++j)
			if((i>>j-1)&1)
				for(int k=j+1;k<=n;++k)
					if(((i>>k-1)&1) and e[j][k])
						++e_cnt;
		g[i]=qkpow(2,e_cnt);
	}
	for(int i=0;i<U;++i) {
		if(!(i&1)) continue;
		f[i]=g[i];
		for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i) {
			if(!(j&1)) continue;
			f[i]=(f[i]-1ll*f[j]*g[i^j]%mod+mod)%mod;
		}
		int tmp=1ll*f[i]*g[(U-1)^i]%mod;
		for(int j=2;j<=n;++j)
			if((i>>j-1)&1)
				ans[j]=(ans[j]+tmp)%mod;
	}
	for(int i=2;i<=n;++i)
		print(ans[i],'\n');
	return 0;
}