[学习笔记] 积性函数

目录

• 1. 定义
• 2. 性质
• 3. 常见积性函数

1. 定义

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\) 且当 \(x,y\) 均为正整数且 \(\gcd(x,y)=1\) 时，都有

\[f(xy)=f(x)f(y) \]

则 \(f(n)\) 为积性函数。

特别地，当不满足 \(\gcd(x,y)=1\) 仍有上式满足时，称 \(f(n)\) 为完全积性函数。

2. 性质

证明第四个柿子：

\[h(x)h(y)=\sum_{i|x}f(i)g(\frac{x}{i})\sum_{j|y}f(j)g(\frac{y}{j}) \]

因为 \(\gcd(x,y)=1\)，我们将 \(i,j\) 直接两两组合显然 \(i\times j\) 是不重的。

3. 常见积性函数

• 单位函数：\(\epsilon(n)=[n=1]\)（完全积性）。

• 恒等函数：\(\text{id}(n)=n\)（完全积性）。

• 除数函数：\(\sigma_x(n)=\sum_{d|n}d^x\)。
  当 \(x=0\) 时，可简写成 \(\tau(n),\text d(n)\)。
  当 \(x=1\) 时，可简写成 \(\sigma(n)\)。

• 欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]\)。戳这。

  另外 \(\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]\times i\) 可化成 \(\frac{n\times \varphi(n)}{2}+\frac{[n=1]}{2}\)。证明。

  一个小优化：预处理 \(\sqrt n\) 中的质数，对于每个 \(x\) 直接枚举质数，单次是 \(\mathcal O(\frac{\sqrt n}{\ln n})\)（质数个数）。

• 莫比乌斯函数（其中 \(\omega(n)\) 是 \(n\) 本质不同质因子个数）：