\(\text{Description}\)
鹅有个问题。
但因为她不太聪明，所以请鸭来帮她解答，并答应鸭如果这个问题被解决了，就给鸭一塌糊涂。
身为一个根正苗红的 \(\mathtt{xqg}\)，这个任务就交到了你的身上：
能否构造出三个长度为 \(n\) 的 \(0\) 到 \(n-1\) 的排列，使得任给 \(i\in [0,n)\) 都有 \(a_i+b_i\equiv c_i\ (\text{mod }n)\)。
\(\text{Solution}\)
就是比较妙吧，真的不知道咋想的。
- \(n\) 为偶。左边的和是 \(n\times (n-1)\)，右边的和是 \(\frac{n\times (n-1)}{2}\)。显然左边取模后为 \(0\)，右边的可以推一下：令 \(p=\left \lfloor\frac{\frac{n\times (n-1)}{2}}{n}\right \rfloor=\frac{n-2}{2}\)，则 \(r=\frac{n\times (n-1)}{2}-p\times n=\frac{n}{2}\)。显然右边余数不为 \(0\)。所以无解。
- \(n\) 为奇。可以直接将 \(a,b\) 赋值为 \(0,1\ ...\ n-1\)。左边就变成了 \(2\times i,(i\in [0,n))\)，可以联想到
3.1.2.引理贰，显然这个时候 \(2\) 与 \(n\) 是互质的，则取模的余数互不相等，即 \(c\) 也是一个排列。
\(\text{Update on 2021.4.5}\)：
今天的模拟赛的部分分考到了这个点。现在 \(n\) 为奇有一个船新的证法：
将 \((a_i,b_i)\) 抽象成方格图上的格子（从上往下，从左往右）。你会发现相同颜色覆盖的格子得到的数在模意义下相等，而且设得到的数为 \(x\)，那么对应的线段就是从左上到右下的第 \(x,n+x\)（从 \(0\) 开始）条线段，除了 \(x=n-1\) 的情况。
所以有一种显然的构造方案：取主对角线的所有格子。因为主对角线包含的都是偶数项，而对应的线段奇偶性不同。
