P4868 Preprefix sum

\(\text{Description}\)

传送门

\(\text{Solution}\)

先看看一个简单的问题：

给定序列 \(a\)，有单点修改，查询 \(s_i\)（\(s_i\) 是前缀和）。

这个问题应该有两种解决方法：

1. 单点修改，再 \([1,i]\) 区间查询。
2. 考虑每个点修改对前缀和的贡献，显然只会对 \([i,n]\) 有 \(val_{now}-val_{past}\) 的影响，这是区间修改。最后单点查询。

本质就是维护单点和维护前缀和。注意第一种方法只能查询一次前缀和，而第二种方法可以查询一段区间的前缀和。

壹

尝试优化我们的查询方式。

发现有（即每一种元素往后的贡献）：

\[SS_i=\sum_{j=1}^i(i-j+1)\times a_j \]

由于 \(i\) 是查询，\(j\) 是插入，\(i,j\) 是不相关的，我们得分开维护。

就有：

\[SS_i=i\times \sum_{j=1}^i a_j-\sum_{j=1}^i (j-1)\times a_j \]

分别维护 \(a_j\) 序列与 \((j-1)\times a_j\) 序列即可。

贰

我们需要查询 \([1,i]\) 的前缀和，所以用法二维护即可（就是把最后的查询变成区间查询）。

\(\text{Code}\)

咕咕咕...