[学习笔记] 差分约束系统

目录

• 前置 —— 求解最长路
• 差分约束系统
• 一些题

前置 —— 求解最长路

1. 将边权取相反数，设此时图为 \(G'\)。若 \(G'\) 无负权环（即 \(G\) 无正权环），则有 \(d'[v]\le len'[v]\)，其中 \(d'[v]\) 为在图 \(G'\) 上求得的最短路，\(len'[v]\) 为源点到 \(v\) 的任意路径权值和。同时可得 \(-d'[v]\ge len[v]\)，所以可以得到 \(D[v]=-d'[v]\)，其中 \(D[v]\) 为原图源点到 \(v\) 的最长路。

2. 实际上，由于最短路有：

   if(d'[v]>d'[u]+w'(u,v)) 
   	d'[v]=d'[u]+w'(u,v)
   

   我们可以将其改写为：

   if(D[v]<D[u]+w(u,v))
   	D[v]=D[u]+w(u,v)
   

不过，由此看出若 \(G\) 有正边，相当于 \(G'\) 有负边，而 \(G'\) 的最短路等价于 \(G\) 的最长路，此时不能用 \(\mathtt{Dijkstra}\)，只能用 \(\mathtt{SPFA}\)。

差分约束系统

1. 如果求最大值。

   对于条件 \(x_i-x_j\le k\)，建一条从 \(j\) 到 \(i\) 的权值为 \(k\) 的边。求最短路。负环无解。

2. 如果求最小值。

   对于条件 \(x_i-x_j\le k\)，建一条从 \(i\) 到 \(j\) 的权值为 \(-k\) 的边。求最长路。正环无解。

一些题

例 1. \(\text{HDU - 3440 House Man}\)

求最大值，则按小于等于建图求最短路。负环无解。

有两个限制：

1. 相邻房子距离至少为 \(1\)。
2. 相邻高度房子距离至多为 \(D\)。

最后需要注意，查询时应查询编号小的房子到编号大的房子的距离，如果反过来查根据我们的建图得到的值应该是负值。

例 2. \(\text{CF1450E Capitalism}\)

求最大值，则建图求最短路。负环无解，这是由于求最短路实际上是卡着限制跑，如果这样自己都要仰慕自己，就无解了。

对于限制 \(|a_i-a_j|=1\)，可以拆成 \(|a_i-a_j|\le 1\) 且 \(|a_i-a_j|\ge 1\)。

继续拆成四个条件：\(a_i\le a_j+1\) 或 \(a_i\ge a_j-1\)，\(a_j\le a_i-1\) 或 \(a_j\ge a_i+1\)。

显然，我们不能从前一对与后一对的限制中分别选一个，组合来搞，这样的边数组合是指数级的。不妨先选择最弱的一组条件：\(a_i\le a_j+1,a_j\le a_i+1\)，其实也就是保证 \(|a_i-a_j|\le 1\)。现在我们惊喜地发现，不合法的情况其实也就是 \(i\rightarrow j\) 的边权为零！

那么考虑什么情况下必须填零。考虑如果不是环，那么一定可以填 \(1\)。这样问题就简单了：由于合法边权为 \(1\)，那么只有偶环有解，奇环一定会出现零边！

用 \(\mathtt{Floyd}\) 找出最大值，并查集维护二分图即可。

\(\sf P.S.\) 之前自己没搞懂，今天回来又看了一遍终于想明白了！

例 3. 倍杀测量者

题意描述：给出一系列不等式

\[x_{a_i}\ge (k_i-t)\cdot x_{b_i}\text{ and }(k_i+t)\cdot x_{a_i}>x_{b_i} \]

以及一些 \(x_i\) 的值。

求出最大的 \(t\) 使得其无解。

---

首先想到二分 \(t\)，然后判定有无解。可以将连边方式转化为 "乘除" 或 "对数"。

什么样的情况会导致无解呢？以 "对数" 的正负为例（其实 "乘除" 也是一样的，"对数" 的正对应其 \(\ge 1\)；反之对应 \(<1\)），假设跑最长路，就是 \(v\ge u+w\)，如果最终找到了 正 环，不等式就无法成立，因为自己无法大于自己。最短路同理。

另外对于一些固定的值可以这样处理：建出虚点 \(0\)，"对数" 就赋值为零。连双向边即可。