[NOI Online #2 提高组] 子序列问题

目录

• 题目
• 解法
• 代码

题目

传送门

解法

考虑使用增量法求解，对于固定的 \(r\)，求出 \(\sum_{l=1}^r f(l,r)\)，再相加即为答案。假设从 \(r-1\rightarrow r\)，上一个和 \(A_r\) 相同的数下标为 \(lst_i\). 那么对于 \(l\in (lst_i,r]\) 的 \(f(l,r)\) 都增加了 \(1\). 那么对于 \(l\in (lst_i,r]\) 有：

\[\Delta_l=f^2(l,r)-f^2(l,r-1) \]

\[=(f(l,r-1)+1)^2-f^2(l,r-1) \]

\[=2f(l,r-1)+1 \]

至此，我们只需要维护 \(f(i,r)\) 的区间加和区间求和即可（其中 \(r\) 是我们枚举的量）。

可以用树状数组维护。区间修改首先让我们想到差分，不妨令 \(a_i\) 为维护的值，\(c_i=a_i-a_{i-1}\)。那么：

\[\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i c_j \]

\[=\sum_{i=1}^n (n-i+1)\cdot c_i \]

\[=\left( n\cdot \sum_{i=1}^n c_i\right)-\sum_{i=1}^n(i-1)\cdot c_i \]

于是开两个树状数组 \(C_1,C_2\)，分别维护 \(c_i\) 的前缀和，\((i-1)\cdot c_i\) 的前缀和即可。

代码

相信自己！