【9918】逃亡的准备
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【问题描述】
在《Harry Potter and the Deathly Hallows》中，Harry Potter 他们一起逃亡，现在有许多的东西要放到赫敏的包里面，但是包的大小优先，所以我们只能够在里面放入非常重要的物品，现在给出该种物品的数量、体积、价值和数值，希望你能够算出怎样能使背包的价值最大的组合方式，并且输出这个数值，赫敏会非常地感谢你【输入格式】
第一行有2个整数，物品种数n和背包装载体积v。 2行到i+1行每行3个整数，为第i种物品的数量m，体积w、价值s。对于100%的数据1≤v≤500,1≤n≤2000,1≤m≤5000,1≤w≤20,1≤s≤100
【输出格式】
输出文件为一个整数，即为能拿到的最大的物品价值总和。
Sample Input
2 10 3 4 3 2 2 5
Sample Output
13
【题解】
这题平台上的实际时限是5s。如果是5s只要用普通的多重背包算法即可通过。
但如果要在1s内通过。则需要用到二进制分解背包。
比如有一个类型的物品，有50个
31 的二进制是11111
而111111 == 63 > 50
所以我们先获得2^0 2^1 2^2 2^3 2^4.
然后用50-31；
得19；
然后我们再获得19；
总共我们获得了 1 2 4 8 16 19 这几个数字；
然后 我们就可以用这几个数字组合成1-50中任意的数字了。
于是我们生成若干个物品，他们的价值分别是1*c[i],2*c[i],4*c[i].....19*c[i]，重量也同样扩大，即1*w[i],2*w[i],4*w[i]...19*w[i]；
接下来解释重点。
为什么用这几个数字就能组合成1-50中的任意数字？
首先 1-31这些数字是肯定可以的了。
因为1-31就是xxxxx（5个数字）这样的情况。x可能等于1或0.这是其二进制形式。如果某个x等于1就相应的加上2^d就可以啦。
然后就是32-50
比如40
这些数字全部加起来等于50；
那么也就是说我们要除去一系列的数，且这些数的和等于10；
而1-31这些数字都能由1 2 4 8 16得来。所以 10也就没问题了。用这些数字中的一些数字组合成10，然后去掉就可以了。
综上 1 2 4 8 16 19这些数字可以组合成1-50中的任意一个数字。
生成那些物品后，就可以当做0/1背包问题来解决了
【题解】#include <cstdio>
#include <cstring>
int n,m,w[90000],c[90000],f[600],nn = 0,temp[20]; //因为用了二进制分解，所以物品的数量会增加
void init()
{
temp[0] = 1;
for (int i = 1;i <= 16;i++) //先获取2^i的值 预处理可以省去很多时间
temp[i] = temp[i-1]*2;
}
void input_data()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
int num,ww,cc;
scanf("%d%d%d",&num,&ww,&cc);
int now = 0;
while (num >= temp[now]) //如果还能分则减
{
nn++;
w[nn] = ww*temp[now]; //生成一个扩大temp[now]倍的物品
c[nn] = cc*temp[now];
num-=temp[now]; //减掉
now++;
}
if (num >0) //如果还有剩余的。就用剩下的数字生成一个扩大相应倍数的物品
{
nn++;
w[nn] = num*ww;
c[nn] = num*cc;
}
}
}
void get_ans()
{
memset(f,0,sizeof(f));
for (int i = 1;i <= nn;i++)
for (int j = m;j >= w[i];j--) //逆序更新，这是0/1背包的做法。
if (f[j] < f[j-w[i]] + c[i])
f[j] = f[j-w[i]] + c[i];
}
void output_ans()
{
printf("%d",f[m]);
}
int main()
{
//freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
init();
input_data();
get_ans();
output_ans();
return 0;
}
