【u012】数字游戏

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【问题描述】

　小W发明了一个游戏，他在黑板上写出了一行数字a1，a2，…an，然后给你m个回合的机会，每回合你可以从中选择一个数擦去它，接着剩下来的每个数字ai都要递减一个值bi如此重复m个回合，所有你擦去的数字之和就是你所得到的分数。 小W和他的好朋友小Y玩了这个游戏，可是他发现，对于每个给出的an和bn序列，小Y的得分总是比他高。小W很不服气，想让你帮他算算，对于每个an和bn序列，可以得到的最大得分是多少。这样他就知道有没有可能超过小Y的得分。

【输入格式】

输入文件game.in的第1行，一个整数n(1≤n≤200)，表示数字的个数。 第2行，一个整数m(1≤m≤n)，表示回合数。 接下来一行有n个不超过10000的正整数，a1，a2，…an，表示原始数字 最后一行有n个不超过500的正整数，b1，b2，…bn，表示每回合每个数字递减的值

【输出格式】

一个整数，表示最大可能的得分。结果输出到文件game.out。

Sample Input1

3
3
10　20　30
4　5　6

Sample Output1

47

【题解】

题意是这样的。无论你选什么数字。其他数字都会减去它相应的bi值，而不是说你选了数字k，然后其他数字减去bk。

这里我们要注意。可能我们擦掉的数字是一样的比如 1,2,3.

但是擦掉的顺序不同。结果也是不同的。

那应该如何选择顺序？

可以想象我们选择了a[i]和a[j],然后b[i] < b[j]。

那么我们要先选哪一个?

肯定是先选a[j]。因为我们可以避免a[j]在先选完a[i]之后减去较大的b[j]；

可以写出这样ans=a[i]+a[j]-b[x].这个x就是后选的那一个的下标。

显然我们要让b[x]最小。那就先选a[j]后选a[i]。这样我们减去的就是较小的b[i]了。

知道了选择的顺序。接下来就要解决选哪些的问题了。

虽然优先选择b[x]较大的。

但是如果有这样的

a[] 10     100000

b[]  1000    2

然后m=1.也就是说我们只能选一个。那我们肯定要选择a[2]了。

又或者

a[]  2000 200 10000

b[] 100 99  90 

m=2时。我们也不能单纯地选择a[1],a[2]。而应该选择a[1],a[3]。

综上。我们得出这样一个算法。

先把a[]按照b[]的大小降序排序。

然后，设f[i][j]表示前i个数，擦掉了j个数字得到的最大值。

f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a[i]-(j-1)*b[i]);

这里之所以要减去(j-1)*b[i]。是因为当前选的a[i]是第j个擦掉的数字。也就是说之前的j-1

回合。它都没有被擦掉，所以要扣掉(j-1)个b[i]；

然后这个动态规划一定要在排完序之后做。

比如样例

3
3
10　20　30
4　5　6

如果我们不排序。

得到的f[1][1] = 6;

f[2][2] = f[1][1]+20-5*1 = 21;

f[3][3] = f[2][2] + 30-6*2 = 39;

而答案是47;

这里我们选择的也是1,2,3但是如果按照上面的方程。

我们是没有考虑到选择的顺序的。

也就是说到了a[3]这个决策的时候。

我们只会考虑以下3种顺序

a[1]->a[3];

a[1]->a[2]->a[3];

a[3];

因此。选择的顺序就显得尤为重要了。

这也是要排序的原因所在。

然后通过这个方程

f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a[i]-(j-1)*b[i]);

我们也可以看到。如果较小的b[i]放在比较靠后。减掉的会比较少。那相应的值也就更大了。

加深理解：

假如我们不将数组排序。

我们用dp选择出来的是一段序列c1,c2,c3,c4;

它是在不排序的基础上所能得到的最大值。

然后我们刚才讨论过。如果a[i],a[j]都选了，而b[i]<b[j]。

那我们一定是先选择a[j]的。所以我们可能要把这段序列排一下序。

把b[]大的放在前面。比如有序的序列可能变成c3,c2,c1,c4什么的。。

然后既然知道不管选什么都要按照b[]排序。那我们就在进行dp之前先排一下序。

这样才能保证其为最优的。(上面说的先dp后排序得出的不一定是最优值！我只是为了能让大家更好理解才说的)；

【代码】

#include <cstdio>

int n, m, a[201], b[201], f[201][201] = { 0 };

int min(int a, int b) //返回a和b中的较小值
{
	return a < b ? a : b;
}

int max(int a, int b) //返回a和b中的较大值
{
	return a > b ? a : b;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	scanf("%d", &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &b[i]);
	bool flag = false;
	while (!flag) //按照b由大到小排序。冒泡排序
	{
		flag = true;
		for (int i = 1;i <= n-1;i++)
			if (b[i] < b[i + 1])
			{
				flag = false;
				int t = a[i]; a[i] = a[i + 1]; a[i + 1] = t;//换的时候连同a要一起交换
				t = b[i]; b[i] = b[i + 1]; b[i + 1] = t;
			}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)//进行dp
	{
		int maxj = min(i, m);//f[i][j]表示的是前i个数擦掉j个数的最大值
		for (int j = 1; j <= maxj; j++) //j则不能超过i.但要到达m；
			f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + a[i] - b[i] * (j - 1));
	}
	printf("%d\n", f[n][m]);//输出答案。
	return 0;
}