数学分析复习：Weierstrass 逼近定理, Müntz–Szász 定理

本学期的“数学分析 (不是实验班)” 讲了一堆 Approximation theory, 这是怎么绘事呢?

定理 1 (Weierstrass). 连续函数 \(f\in\mathrm C[0,1]\) 可被多项式一致逼近.

对任意 \(\varepsilon>0\) 和 \(x\in[0,1]\), 设随机变量 \(X\) 服从二项分布 \(\mathrm B(n,x)\), 由 Chebyshev 不等式知 \(\mathbb P(|X/n-x|>\delta)\rightrightarrows 0\), 由 \(f\) 一致连续知 \(\mathbb P(|f(X/n)-f(x)|>\varepsilon)\rightrightarrows 0\), 所以多项式 \(\mathbb E[f(X/n)]\rightrightarrows f(x)\).

推论 2. 连续函数 \(f\in\mathrm C[0,1]\) 可被整系数多项式一致逼近当且仅当 \(f(0),f(1)\in\mathbb Z\).

\(\implies\): 显然. \(\impliedby\): Weierstrass 逼近定理给出如下多项式 \(p_n\) 使得 \(\|p_n-f\|<\varepsilon\),

\[p_n(x)=\sum_{k=0}^nf\left(\frac kn\right)\binom nkx^k(1-x)^{n-k}. \]

令 \(q_n\) 为如下整系数多项式, 则 \(\|p_n-q_n\|\le 1/n\),

\[q_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\lfloor f\left(\frac kn\right)\binom nk\right\rfloor x^k(1-x)^{n-k}. \]

定理 3 (Stone-Weierstrass). 设 \(X\) 是紧 Hausdorff 空间, \(\mathcal F\) 是 \(\mathrm C(X,\mathbb R)\) 的子空间, 满足 \(1\in\mathcal F\), 对 \(\max\) 运算封闭, 可区分点 (对 \(x\ne y\) 存在 \(f\in\mathcal F\) 使得 \(f(x)\ne f(y)\)), 则 \(\overline{\mathcal F}=\mathrm C(X,\mathbb R)\).

注意到对任意 \(x\ne y\) 和 \(r,s\in\mathbb R\) 都存在 \(f\in\mathcal F\) 使得 \(f(x)=r\) 且 \(f(y)=s\), 这是因为 \(\mathbb R^2\) 的子集 \(\{(f(x),f(y)):f\in\mathcal F\}\) 是子空间且至少 \(2\) 维.

给定 \(g\in\mathrm C(X,\mathbb R)\) 和 \(\varepsilon>0\), 对任意 \(x\in X\) 记 \(K_x:=\{y\in X:g(y)\ge g(x)+\varepsilon\}\), 则 \(x\notin K_x\), 所以对任意 \(y\in K_x\) 取 \(f_{xy}\in\mathcal F\) 使得 \(f_{xy}(x)=g(x)\) 且 \(f_{xy}(y)>g(y)\), 设 \(y\) 的邻域 \(U_y:=\{z\in X:f_{xy}(z)>g(z)-\varepsilon\}\), 取有限个 \(y\) 使得 \(U_y\) 覆盖 \(K_x\), 对常值函数 \(g(x)\) 以及有限覆盖对应的 \(f_{xy}\) 取 \(\max\) 记为 \(f_x\in\mathcal F\), 则

• 当 \(z\in K_x\) 时, 取 \(y\in K_x\) 使得 \(z\in U_y\), 则 \(f_x(z)\ge f_{xy}(z)>g(z)-\varepsilon\);
• 当 \(z\notin K_x\) 时, \(f_x(z)\ge g(x)>g(z)-\varepsilon\).

所以 \(f_x(z)>g(z)-\varepsilon\), 设 \(V_x:=\{y\in X:f_x(y)<g(y)+\varepsilon\}\), 因为 \(f_x(x)=g(x)\), 所以 \(x\in V_x\), 取有限个 \(x\) 使得 \(V_x\) 覆盖 \(X\), 将它们对应的 \(f_x\) 取 \(\min\), 即得所求函数 \(f\).

推论 4. 设 \(X\) 是紧 Hausdorff 空间, \(\mathrm C(X,\mathbb R)\) 的子代数 \(\mathcal F\) 可区分点, 则 \(\overline{\mathcal F}=\mathrm C(X,\mathbb R)\).

由定理 1 知 \(\overline{\mathcal F}\) 对取绝对值封闭, 从而对 \(\max\) 封闭, 由定理 3 得证.

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引理 5. 设 \(H\) 是 \(\mathbb R\) 上的内积空间, \(f_1,\ldots,f_n\) 线性无关, \(V:=\mathrm{span}\{f_i\}\), 则对 \(g\in H\) 有

\[\mathrm{dis}(g,V):=\inf_{v\in V}\|g-v\|=\sqrt{\frac{\mathrm G(g,f_1,\ldots,f_n)}{\mathrm G(f_1,\ldots,f_n)}}, \]

其中 \(\mathrm G(f_1,\ldots,f_n):=\det((f_i|f_j))_{1\le i,j\le n}\) 是 Gram 矩阵的行列式.

一眼 Gram 矩阵, 评价为 Gram-Schmidt 正交化.

定理 6 (Müntz, \(L^2\)). 设 \(\Lambda:=(\lambda_k)_{k=0}^\infty\) 是两两不同且大于 \(-1/2\) 的实数列, 则 \(\Pi(\Lambda):=\mathrm{span}\{x^{\lambda_k}\}\) 在 \(L^2[0,1]\) 中稠密当且仅当

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{2\lambda_k+1}{(2\lambda_k+1)^2+1}=+\infty. \]

由 Weierstrass 逼近定理, 稠密性等价于对 \(p\in\mathbb Z_{\ge 0}\) 都有 \(\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{dis}(x^p,\Pi(\Lambda_n))=0\), 其中 \(\Lambda_n\) 表示前缀. 代入引理 5 的式子, 由 Cauchy 行列式的结论计算得

\[\mathrm{dis}(x^p,\Pi(\Lambda_n))=\frac 1{\sqrt{2p+1}}\prod_{k=0}^n\frac{|p-\lambda_k|}{p+\lambda_k+1}. \]

将上述无穷乘积分为 \(\lambda_k<p\) 和 \(\lambda_k>p\) 两部分, 则稠密性等价于以下两式之一发散到 \(0\):

\[\prod_{k:\lambda_k<p}^\infty\left(1-\frac{2\lambda_k+1}{p+\lambda_k+1}\right)\quad\mathrm{or}\quad\prod_{k:\lambda_k>p}^\infty\left(1-\frac{2p+1}{p+\lambda_k+1}\right) \]

取对数, 根据 Taylor 展开和比较判别法, 等价于以下两式之一发散到 \(+\infty\):

\[\sum_{k:\lambda_k<p}^\infty(2\lambda_k+1)\quad\mathrm{or}\quad\sum_{k:\lambda_k>p}^\infty\frac 1{2\lambda_k+1} \]

若 \(\Lambda\) 有 \(-1/2\) 之外的聚点, 则显然成立, 否则收敛性无关于 \(p\), 从而合并为定理所述级数.

内积空间真好啊, 可惜换个空间就没得了 /kk

定理 7 (Müntz, \(\mathrm C\)). 设 \(\Lambda\) 是两两不同的正实数列, \(\Pi(\Lambda\cup\{0\})\) 在 \(\mathrm C[0,1]\) 中稠密当且仅当

\[\sum_{k=1}^\infty\frac{\lambda_k}{\lambda_k^2+1}=+\infty. \]

只证 \(\inf_{k}\lambda_k>0\) 的情形, 这也就是课上讲了的, 其他同定理 8 证明, 不妨设 \(\lambda_k\ge 1\).

\(\implies\): 若 \(\Pi(\Lambda\cup\{0\})\) 在 \(\mathrm C[0,1]\) 中稠密, 则也在 \(L^2[0,1]\) 中稠密, 由定理 6 和比较判别法得证.

\(\impliedby\): 对 \(p\in\mathbb Z_{\ge 1}\) 有

\[\left\|x^p-\sum_{k=1}^na_kx^{\lambda_k}\right\|_{L^\infty}\le\left\|px^{p-1}-\sum_{k=1}^na_k\lambda_kx^{\lambda_k-1}\right\|_{L^1}\le\left\|px^{p-1}-\sum_{k=1}^na_k\lambda_kx^{\lambda_k-1}\right\|_{L^2} \]

两边对所有 \(a_k\) 取 \(\min\) 就得到

\[\mathrm{dis}(x^p,\Pi(\Lambda_n))_\infty\le p\cdot\mathrm{dis}(x^{p-1},\Pi(\Lambda_n-1))_2. \]

由定理 6 知右边 \(\to 0\), 所以左边也 \(\to 0\).

定理 8 (Müntz, \(L^p\)). 设 \(1\le p<\infty\), \(\Lambda\) 是两两不同且大于 \(-1/p\) 的实数列, 则 \(\Pi(\Lambda)\) 在 \(L^p[0,1]\) 中稠密当且仅当

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda_k+1/p}{(\lambda_k+1/p)^2+1}=+\infty. \]

前置知识有点多啊, 以后有空再补不补了, 记个结论跑路.