一个恒等式.jpg

今天看到个有点意思的东西（

对于正整数 \(n\)，下式是关于 \(x,y,z_1,\cdots,z_n\) 的恒等式。

\[(x+y)(x+y+z_1+\cdots+z_n)^{n-1}=xy\sum_{I\subseteq[n]}\left(x+\sum_{i\in I}z_i\right)^{|I|-1}\left(y+\sum_{i\notin I}z_i\right)^{n-|I|-1} \]

引理 1. \(n\) 个点的有标号无根树与 \([n]^{n-2}\) 存在双射，且 \(i\) 的出现次数为 \(d_i-1\)，其中 \(d_i\) 表示 \(i\) 号点在树中的度数。

此即为经典的 Prüfer 序列。

引理 2. 设 \(\mathcal T\) 表示 \(n\) 个点的有标号无根树的集合，则

\[(x_1+\cdots+x_n)^{n-2}=\sum_{T\in\mathcal T}\prod_{i=1}^nx_i^{d_T(i)-1} \]

此即为引理 1 的生成函数形式。

考虑证明原式。将 \(x,y,z_1,\cdots,z_n\) 看作树上的点，设 \(\mathcal T'\) 表示 \(x,y\) 之间有边的有标号无根树集合，则原式右边即为 \(\displaystyle\sum_{T\in\mathcal T'}x^{d_T(x)-1}y^{d_T(y)-1}\prod_{i=1}^nz_i^{d_T(z_i)-1}\)。对应到 Prüfer 序列，规定编号的大小顺序是 \(z_1<\cdots<z_n<x<y\)，则等价于 Prüfer 序列的最后一项为 \(x\) 或 \(y\)。\(\square\)