AGC043F Jewelry Box【线性规划，费用流】
因为要满足差分约束，显然确定了每家店的珠宝之后必定按重量从小到大的顺序装盒。
将同一家店的珠宝按重量排序，设 \(X_{i,j}\) 表示 \((i,0),(i,1),\cdots,(i,j-1)\) 的购买数量，则限制为：
- \(0=X_{i,0}\le X_{i,1}\le\cdots\le X_{i,k_i}=A\)；
- \(X_{i,j+1}-X_{i,j}\le C_{i,j}\)；
- 对于限制 \((U,V,W)\) 和珠宝 \((U,j)\)，设 \(k\) 是最大满足 \(S_{V,k}\le S_{U,j}+W_i\)，则 \(X_{U,j}\le X_{V,k}\)。
最小化 \(\sum P_{i,j}(X_{i,j+1}-X_{i,j})\)。
根据 dxm 论文，我们可以把它写成：
\[\min\left\{\sum_{i,j}(\infty\max(X_{i,j}-X_{i,j+1},0)+\infty\max(X_{i,j+1}-X_{i,j}-C_{i,j},0)+P_{i,j}\max(X_{i,j+1}-X_{i,j},0))+\sum_{u,v,w,j}\infty\max(X_{u,j}-X_{v,k},0)+\sum_i(\infty X_{i,0}+\infty\max(X_{i,0}-X_{i,k_i}+A,0))\right\}
\]
好长好长好长好长好长
对偶一下再取反就是最小费用流：所有的 \(c\max(X_v-X_u-w,0)\) 看做 \(u\) 到 \(v\) 连容量为 \(c\)，费用为 \(w\) 的边，\(\infty X_{i,0}\) 表示 \((i,0)\) 的流量没有限制，具体计算的时候需要一个源点 \(S\) 和一个汇点 \(T\)，所以把 \((i,0)\) 连出的看做 \(S\)，连向 \((i,0)\) 的看做 \(T\)。
然后就做完一组数据的情况了。观察一下发现 \(A\) 的系数一定是总流量 \(F\)，所以答案即为 \(\min\{AF-C\}\)，其中 \(C\) 表示将 \(A\) 看做 \(0\) 时跑的最小费用流答案，所以我们跑出所有 \((F,C)\) 的对应关系，根据费用流性质，这是下凸的分段一次函数，用最小费用最大流的方法计算出折线端点和斜率，询问的时候二分斜率对应位置即可。
复杂度大概是 \(\sum P_{i,j}\) 次最短路，但是冲就完了。
