ARC109E 1D Reversi Builder【期望，分析性质】

传送门

给定长为 \(n\) 的黑白序列 \(c_i\) 和正整数 \(s\)。小黑和小白在下黑白棋，初始时第 \(s\) 个位置有 \(c_s\) 色的棋子，两人轮流操作，小黑先手：选择与已有棋子相邻的位置 \(i\)，在上面下 \(c_i\) 色棋子，并找到距离其最近的同色棋子的位置 \(j\)，当 \(j\) 存在时令 \(i\) 与 \(j\) 之间的棋子都变为 \(c_i\) 色。

不能操作时游戏就结束了。小黑想让黑色棋子尽量多，小白想让白色棋子尽量多。

给定正整数 \(n\)，\(\forall s\in[1,n]\)，求当 \(c\) 均匀随机生成时最终黑色棋子数的期望值\(\bmod 998244353\)。

\(n\le 2\cdot 10^5\)。

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1D 黑白棋显然很sb，手玩一下就知道任意时刻状态都是一段黑+一段白或者反过来。

若 \(c_1=c_n\) 则最终状态一定全是 \(c_1\)，否则设开头相同连续段是 \([1,L]\)，结尾是 \([R,n]\)，则小黑会向黑连续段冲锋(?)，只要先到了 \((L,R)\) 就是小黑的，否则就是小白的。

可以考虑求两项差值，当 \(s-L\ne R-s\) 时两边对称，否则中间一段就是小黑的。

时间复杂度 \(O(n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 200003, mod = 998244353;
int n, f[N];
int ksm(int a, int b){
	int res = 1;
	for(;b;b >>= 1, a = (LL)a * a % mod)
		if(b & 1) res = (LL)res * a % mod;
	return res;
} int qmo(int x){return x + ((x>>31)&mod);}
int main(){
	scanf("%d", &n); int tmp = (n & 1) ? (n+mod>>1) : (n>>1);
	for(int i = 2, pw = ksm(2, mod-n);i <= n;++ i, pw = pw * 4ll % mod)
		f[i] = (f[i-1] + (2*i-1ll)*pw) % mod; // 2i-1 = the length of (L,R)
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
		printf("%d\n", (i <= 2 || i >= n-1) ? tmp : qmo(tmp + f[i-max(2*i-n,1)] - mod));
}