矩阵树定理学习笔记

这也是一个黑科技

设一个无向图的邻接矩阵为$A$，度数矩阵为$D$，则基尔霍夫矩阵$K=D-A$的行列式的值就是生成树的个数。

注意这里的$K$是要把最后一行和最后一列去掉的。

（证明？不存在的）

它还有一个扩展，叫做变元矩阵树定理

若将邻接矩阵的$A[i][j]$设为边权，度数矩阵的$D[i][i]$设为与$i$相连的边权的和，则这个值就是所有生成树边权之积的和。

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P4111 [HEOI2015]小Z的房间

这道题就是模板题，直接套定理就行。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 11, mod = 1e9;
int n, m, id[N][N], tot, f[N * N][N * N];
char str[N][N];
inline void add(int a, int b){
    ++ f[a][a]; ++ f[b][b];
    -- f[a][b]; -- f[b][a];
}
inline int Gauss(){
    int res = 1;
    for(Rint i = 1;i < tot;i ++){
        for(Rint j = i + 1;j < tot;j ++)
            while(f[j][i]){
                int t = f[i][i] / f[j][i];
                for(Rint k = i;k < tot;k ++)
                    f[i][k] = (f[i][k] - (LL) t * f[j][k] + mod) % mod;
                swap(f[i], f[j]);
                res = -res;
            }
        res = (LL) res * f[i][i] % mod;
        res = (res + mod) % mod;
    }
    return (res + mod) % mod;
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
        scanf("%s", str[i] + 1);
        for(Rint j = 1;j <= m;j ++) if(str[i][j] == '.') id[i][j] = ++ tot;
    }
    for(Rint i = 1;i <= tot;i ++)
        for(Rint j = 1;j <= tot;j ++) f[i][j] = (f[i][j] + mod) % mod;
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++)
        for(Rint j = 1;j <= m;j ++)
            if(str[i][j] == '.'){
                if(str[i][j - 1] == '.') add(id[i][j], id[i][j - 1]);
                if(str[i - 1][j] == '.') add(id[i][j], id[i - 1][j]);
            }
    printf("%d", Gauss());
}

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P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡

这道题就是要套一个容斥原理。

都要选=可以都选-一个不选+二个不选-三个不选...

然后枚举子集，重构一下矩阵就可以过了。

时间复杂度$O(2^nn^3)$

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pii;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, f[18][18], ans, pre[1 << 16];
vector<pii> g[18];
inline void add(int a, int b){
    ++ f[a][a]; ++ f[b][b];
    -- f[a][b]; -- f[b][a];
}
inline int Gauss(){
    int res = 1;
    for(Rint i = 1;i < n;i ++){
        for(Rint j = i + 1;j < n;j ++)
            while(f[j][i]){
                int d = f[i][i] / f[j][i];
                for(Rint k = i;k < n;k ++) f[i][k] = (f[i][k] - (LL) d * f[j][k] + mod) % mod;
                swap(f[i], f[j]);
                res = -res;
            }
        res = (LL) res * f[i][i] % mod;
    }
    return (res + mod) % mod;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(Rint i = 1;i < n;i ++){
        int m;
        scanf("%d", &m);
        while(m --){
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            g[i].push_back(make_pair(x, y));
        }
    }
    for(Rint i = 1;i < (1 << n - 1);i ++) pre[i] = pre[i >> 1] + (i & 1);
    for(Rint i = 1;i < (1 << n - 1);i ++){
        memset(f, 0, sizeof f);
        for(Rint j = 1;j < n;j ++)
            if(i & (1 << j - 1))
                for(Rint k = 0;k < g[j].size();k ++)
                    add(g[j][k].first, g[j][k].second);
        for(Rint j = 1;j < n;j ++)
            for(Rint k = 1;k < n;k ++)
                f[j][k] = (f[j][k] + mod) % mod;
        if((n - pre[i]) & 1) ans = (ans + Gauss()) % mod;
        else ans = (ans + mod - Gauss()) % mod;
    }
    printf("%d\n", ans);
}

P3317 [SDOI2014]重建

这道题就要稍微推一下柿子了

$$\sum_{Tree}\prod_{(u,v)\in Tree}P_{u,v}*\prod_{(u,v)\in Tree}(1-P_{u,v})$$

$$=\prod_{(u,v)}(1-P_{u,v})*\sum_{Tree}\prod_{(u,v)\in Tree}\frac{P_{u,v}}{1-P_{u,v}}$$

前一部分预处理，后一部分直接算。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define Rint register int
using namespace std;
const int N = 51;
const double eps = 1e-8;
int n;
double p[N][N], f[N][N], ans = 1;
inline void add(int a, int b, double c){
    f[a][a] += c; f[b][b] += c;
    f[a][b] -= c; f[b][a] -= c;
}
inline double Gauss(){
    double res = 1;
    for(Rint i = 1;i < n;i ++){
        for(Rint j = i + 1;j < n;j ++){
            int t = i;
            if(fabs(f[j][i]) > fabs(f[t][i])) t = j;
            if(t != i) swap(f[i], f[t]), res = -res;
        }
        for(Rint j = i + 1;j < n;j ++){
            double t = f[j][i] / f[i][i];
            for(Rint k = i;k < n;k ++) f[j][k] -= f[i][k] * t;
        }
        res *= f[i][i];
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++)
        for(Rint j = 1;j <= n;j ++){
            scanf("%lf", p[i] + j);
            if(i < j){
                if(fabs(p[i][j]) < eps) p[i][j] = eps;
                else if(fabs(1 - p[i][j]) < eps) p[i][j] = 1 - eps;
                ans *= 1 - p[i][j];
                add(i, j, p[i][j] / (1 - p[i][j]));
            }
        }
    printf("%.6lf", ans * Gauss());
}

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P4208 [JSOI2008]最小生成树计数

【TODO】