UVa 11427 (期望 DP) Expect the Expected

设d(i, j)表示前i局每局获胜的比例均不超过p，且前i局共获胜j局的概率。

d(i, j) = d(i-1, j) * (1-p) + d(i-1, j-1) * p

则只玩一天就就不再玩的概率Q = sum{d(n, i) | 0 ≤ i ≤ p*n}

那么期望为

这是一个无穷级数，可以用高数的一些知识来解决。

另1-Q = t

 将1-Q带入t，并将左边的Q乘过去得：

 

书上还介绍了一种更简单的方法，假设所求期望为e

第一天玩完就去睡觉，概率为Q，期望为1；第一天玩得高高兴兴，概率为1-Q，期望为1+e

于是有等式：e = Q + (1-Q)(1+e)

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 100 + 10;

double d[maxn][maxn];

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);

    int T;
    scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++)
    {
        int n, a, b;
        scanf("%d/%d%d", &a, &b, &n);
        double p = (double)a / b;
        memset(d, 0, sizeof(d));
        d[0][0] = 1; d[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 0; j*b <= a*i; j++)
            {
                d[i][j] = d[i-1][j]*(1-p);
                if(j) d[i][j] += d[i-1][j-1]*p;
            }

        double Q = 0;
        for(int i = 0; i*b <= a*n; i++) Q += d[n][i];
        printf("Case #%d: %d\n", kase, (int)(1/Q));
    }

    return 0;
}