【读书笔记】莫比乌斯函数与莫比乌斯反演
一、莫比乌斯(Möbius)函数
对于每个正整数n(n ≥ 2)，设它的质因数分解式为：
根据这个式子定义n的莫比乌斯函数为：
也就是如果n有平方因子，则为0. 否则是-1的质因数个数次方。
举个简单的例子：6 = 2 × 3，所以； 9 = 3×3， 所以
【命题一】
对于正整数n有：
也就是n>2时，所有n的约数对应函数值之和为0.
证明：
n=1的时候是显然的。
n≥2时：
① 如果d中也含有平方因子，则其值为零。
② 设 ， 若d中不含平方因子，则必有
.
所以有：
得证。
二、欧拉函数
欧拉函数φ(n)定义为，1~n中与n的最大公约数为1的数字的个数。例如 φ(5) = 4, φ(6) = 2
若p为质数，显然 φ(p) = p-1
若n=pk， 则n的大于1的约数有p, 2p, 3p,...(pk-1-2)p, (pk-1-1)p共pk-1个数。所以φ(n) = pk-pk-1
而且欧拉函数为积性函数(证明较为麻烦，略去)，即若m、n互质，有φ(m)φ(n) = φ(mn)
所以对于任意
或者写成这种形式：
莫比乌斯函数和欧拉函数的关系：
这个不是太难证明，自己在纸上演算一下就明白了。
三、莫比乌斯反演
若定义在正整数集上的两个函数，f(n)和g(n)满足对任意n有：
(1)
则可以通过f来表示g：
(2)
反之，亦可以由关系(2)得到(1)
证明：
由式(1)有：
于是：
对于确定的d'，d将取遍所有的因子，所以我们可以改变求和顺序：
由上面的推导可知：只有当即n = d'时，等式右边才不为0。所以右边和式只剩下g(n)一项了。
简单运用：
上面说到莫比乌斯函数和欧拉函数的关系，
变形为：
视f(n) = n, g(n) = φ(n), 上式相当于反演公式中的(2)式
根据反演公式，可得到(1)式：
