快速傅里叶变化

引入

现有多项式乘法：

\[(5x^2+3x+7)(7x^2+2x+1) \]

计算时需要暴力展开，得到：

\[35x^4+31x^3+60x^2+17x+7 \]

此时我们一一相乘，时间复杂度为 \(O(n^2)\)。FFT就是一种可以使多项式相乘的时间复杂度降为 \(O(n\log n)\) 的算法。

复数与单位根

复数

复数，即形如 \(a+b\text{ i}\) 的数，其中 \(a\) 为该复数的实数部，\(b\) 为该复数的虚数部。

单位根

单位根，记作 \(w_n^i\)，其几何意义为：

将一个圆心为原点，半径为 \(1\) 的圆等分成 \(n\) 份，每条等分线与圆相交记如下：

其中 \(w_n^0\) 是该圆与 \(x\) 轴的交点，同时每个单位根 \(w_n^i\) 代表的点 \((a,b)\) 表示一个复数 \(a+b\text{ i}\)。

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