浅谈树分治

因为树具有一般的图没有的特殊性质,所以树考的比图要多得多。而树上分治算法则是解决树上路径信息静态统计的一大利器。

点分治

以点为分界线的分治,每次选取一个点,把经过这个点的路径信息统计完,再在这个点的子树里递归统计没有经过这个点的路径信息,这样可以保证不重不漏的统计每一条路径的信息。如果每次选择重心为这个分界线,那么每次联通块大小至少会缩小一半,所以每个点最多被遍历\(logn\)次,复杂度就得到了保证。而当前联通块的重心只需要\(O(n)\)的时间就可以找到了。

边分治

树可以用点分治,当然也可以按边分治。每次选取一条边,使得删掉这条边之后的两个联通块大小尽量平均,暂时称这条边为重边。因为按照边分治每次只会把一个联通块变成两个,所以对于某些信息边分治比点分治更好统计。

但是,菊花图会卡爆上述做法。所以边分治之前,需要把树重建。在讲重建树之前,我们先来讲讲边分治的时间复杂度分析吧。

假设当前联通块中,红色的边\(U-V\)是重边,\(U\)以及其子树大小为\(s\)\(V\)以及其子树大小为\(n-s\)\(s\geqslant n-s\)\(X\)\(U\)的所有儿子中子树大小最大的点,其子树大小为\(p\),整个联通块中点度最大为\(d\)

我们考虑另一种方案\(U-X\),显然\(p\geqslant (s-1)/(d-1)\),因为\(p\)小于\(s\)\(U-V\)是重边,所以\(n-p\geqslant s\)。代入前面那个式子可得:

\[\because n-p\geqslant s,\therefore n-s\geqslant p\\ \because p\geqslant (s-1)/(d-1),\therefore n-s\geqslant(s-1)/(d-1)\\ \therefore d*n-d*s-n+s\geqslant s-1\\ \therefore (d-1)*n-d*s\geqslant -1\\ \therefore (d-1)*n+1\geqslant d*s\\ \therefore s\leqslant \frac{(d-1)*n+1}{d}\\ \]

\(d\)是常数时,复杂度显然可以接受。但是……

一花一世界,一菊一\(TLE\)

所以我们需要重建树,利用虚拟结点和原本并不存在的边把原树建成一棵二叉树,内存也就翻一倍。另外,新的结点和新的边不能对答案有影响,这个在处理的时候要注意。

posted @ 2018-11-25 10:43  AKMer  阅读(1114)  评论(0编辑  收藏  举报