Matrix

题目大意

给定一个\(n \times m\)的黑白矩阵，设点\((i,j)\)的权值\(w_{(i,j)}\)为包含该点的全白矩阵的个数，求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m w_{(i,j)}\)

题解

首先转化问题为全部白色子矩阵的面积和

然后考虑统计答案

我们计算以某点为右下角的矩阵的贡献

易得\(\Theta(nm^2)\)的算法：

我们维护每个点向上延伸的高度h[i]，从每个点往左跑后缀最小值，ans+=((lis+1)*lis)>>1;

考虑优化该算法

首先我们发现后缀最小值跑出来的序列单调不降，这意味着我们可以用单调栈维护该序列

然后我们思考优化答案统计

我们对这个序列进行分治，分成一个单调不降的旧块和一个高度相等的新块

左上角在新块中的矩阵总贡献为\(\sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^h ij=\frac{l(l+1)h(h+1)}{4}\)

左上角在旧块中的矩阵总贡献为\(S+l\sum \frac{h(h+1)}{2}\)

这样我们维护一个\(S\)的前缀和，一个\(\frac{h(h+1)}{2}\)的前缀和，就可以\(\Theta(1)\)快速统计了

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#include"cstring"
#include"iostream"
#include"algorithm"
using namespace std;

const int MAXN=2005;

int n,m;
char ch[MAXN];
int h[MAXN],stk[MAXN];
long long ans,lis[2][MAXN];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%s",ch+1);stk[0]=1;
		for(int j=1;j<=m;++j) h[j]=ch[j]=='.'?h[j]+1:0;
		for(int j=1;j<=m;++j){
			while(stk[0]>1&&h[stk[stk[0]]]>=h[j]) --stk[0];
			stk[++stk[0]]=j;
			long long tmp=(long long)h[j]*(h[j]+1)*(j-stk[stk[0]-1])>>1;
			lis[0][j]=lis[0][stk[stk[0]-1]]+tmp;
			lis[1][j]=lis[1][stk[stk[0]-1]]+lis[0][stk[stk[0]-1]]*(j-stk[stk[0]-1])+(tmp*(j-stk[stk[0]-1]+1)>>1);
			ans+=lis[1][j];
		}
	}printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}