LeetCode P210 课程表 II

核心思想

此问题本质上是在一个有向图中寻找一个拓扑排序。每门课程是一个图的节点，课程间的先修关系 [a, b] (想学 a 必须先学 b) 可以看作一条从 b 到 a 的有向边 b -> a。

我们的目标是输出一个所有节点的线性序列，使得对于任意边 b -> a，节点 b 都在节点 a 之前。如果图中存在环（例如，A依赖B，B依赖A），则说明无法完成所有课程，不存在拓扑排序。

本题解采用深度优先搜索 (DFS) 来实现拓扑排序和环检测。

算法思路

图的构建

使用邻接表 adj 来表示图。adj[i] 存储所有以课程 i 为先修课的课程列表。例如，对于 [a, b]，我们将 a 添加到 adj[b] 中。

节点状态

为了在 DFS 中检测环并构建拓扑序列，我们为每个节点（课程）维护一个状态 visited：

• 0 (未访问)：初始状态，表示该节点还未被访问。
• 1 (访问中)：表示该节点已经在此次 DFS 的递归路径上，但其所有邻接点尚未完全探索。
• 2 (已访问)：表示该节点及其所有邻接点都已被完全访问。

DFS 过程

从一个未访问的节点开始进行 DFS。首先将其状态标记为 1 (访问中)。遍历其所有邻接点：

• 如果邻接点是 0 (未访问)，则对其进行递归 DFS。
• 如果邻接点是 1 (访问中)，说明我们从当前节点出发，又回到了同一条递归路径上的某个节点，这表明图中存在环。立即停止并标记有环。
• 如果邻接点是 2 (已访问)，说明它已被安全访问过，无需处理。

当一个节点的所有邻接点都访问完毕后，将其状态标记为 2 (已访问)，并将其追加到结果列表 result 的末尾。

结果生成

遍历所有课程，对每个状态为 0 的课程调用 DFS。如果在任何一次 DFS 中检测到环，直接返回空数组 []。

由于 DFS 是在访问完所有后续课程后才将当前课程加入 result，所以 result 中课程的顺序是拓扑排序的逆序。因此，最终返回 result 的反转列表 result[::-1]。

代码解析

from typing import List
class Solution:
    def findOrder(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> List[int]:
        # 1. 初始化邻接表、访问状态数组和结果列表
        adj = [[] for _ in range(numCourses)]
        # 构建邻接表: b -> a
        for course, prereq in prerequisites:
            adj[prereq].append(course)
        
        visited = [0] * numCourses  # 0: 未访问, 1: 访问中, 2: 已访问
        result = []
        has_cycle = False

        def dfs(course: int):
            nonlocal has_cycle
            # 标记为访问中
            visited[course] = 1
            
            for neighbor in adj[course]:
                if visited[neighbor] == 0:
                    dfs(neighbor)
                    if has_cycle: return  # 如果下游检测到环，提前返回
                elif visited[neighbor] == 1:
                    # 发现环，直接标记并返回
                    has_cycle = True
                    return
            
            # 3. 所有邻接点访问完毕，标记为已访问，并加入结果列表
            visited[course] = 2
            result.append(course)

        # 4. 遍历所有课程，确保处理图中所有连通分量
        for i in range(numCourses):
            if visited[i] == 0:
                dfs(i)
                if has_cycle:
                    return []  # 检测到环，无法完成课程

        # 5. DFS 得到的是逆后序遍历，反转即为拓扑排序
        return result[::-1]