Luogu P1182 数列分段 Section II

这是一道非常经典的算法题，它完美地展示了如何将一个求解“最优值”的问题，转化为一个“判定性”问题，并利用二分查找高效求解。这种问题类型通常有固定的关键词，比如本题的 “最大值最小”。

思路分析：从问题到算法

直接去寻找“最小的那个最大值”是非常困难的，因为我们不知道该如何分段。分段的方式有千千万万种，暴力枚举所有分段方式显然会超时。

这时，我们需要转变思路。我们不直接“求解”答案，而是去“猜测”答案。假设我们猜了一个答案，比如说，我们猜测“每段和的最大值”不会超过 \(X\)。那么问题就从：

“最小的最大值是多少？”

变成了：

“在每段和都不超过 \(X\) 的前提下，我们能否将数列分成不超过 \(M\) 段？”

这个问题就变成了一个“Yes/No”的判定性问题。如果我们能高效地回答这个问题，事情就好办了。

答案的单调性

为什么“猜测”是可行的？因为这个“猜测的答案 \(X\)”具有非常重要的单调性：

如果一个较大的值 \(X\) 作为“每段和的最大值”是可行的（即可以分成 \(\le M\) 段），那么任何比 \(X\) 更大的值 \(X+1, X+2\cdots\) 作为最大值，也一定是可行的。因为放宽了限制，我们只可能用更少或者同样多的段数完成分段。
反之，如果一个较小的值 \(Y\) 作为“每段和的最大值”是不可行的（即需要超过 M 段才能完成分段），那么任何比 \(Y\) 更小的值 \(Y-1, Y-2\cdots\) 作为最大值，也一定是不可行的。因为限制更严格了，我们只会需要更多段。

这种一半可行、一半不可行的性质，正是二分查找的完美应用场景！我们可以对“答案”进行二分查找，从而在 \(O(log W)\) 的时间内（\(W\) 是答案的范围）找到那个“最小的可行值”。

如何实现 `check(X)` 函数？—— 贪心策略

现在，核心问题变成了：给定一个最大和限制 \(X\)，如何用最少的段数来划分数列？

这里我们可以使用贪心策略。策略非常直观：

从数列的第一个元素开始，我们为当前段尽可能多地装入连续的元素，直到再装下一个元素就会超过限制 \(X\)。此时，我们不能再装了，必须结束当前段，并从下一个元素开始，开启一个新段。我们重复这个过程，直到所有元素都被分完。

举例说明贪心过程：数列 \(A = [4, 2, 4, 5, 1], M = 3\)。我们来 check(8)，即判断最大和不超过 \(8\) 是否可行。

第一段：
- 放入 \(4\)，当前和为 \(4\)。
- 放入 \(2\)，当前和为 \(4+2=6\)。
- 下一个元素是 \(4\)。\(6+4=10\)，超过了限制 \(8\)。所以第一段只能是 \([4, 2]\)。
第二段：
- 从 \(4\) 开始。放入 \(4\)，当前和为 \(4\)。
- 下一个元素是 \(5\)。\(4+5=9\)，超过了限制 \(8\)。所以第二段只能是 \([4]\)。
第三段：
- 从 \(5\) 开始。放入 \(5\)，当前和为 \(5\)。
- 放入 \(1\)，当前和为 \(5+1=6\)。
- 数组结束。第三段是 \([5, 1]\)。

最终，我们分成了 \(3\) 段。题目要求是 \(\le M\) 段，这里 \(3 \le 3\)，所以 check(8) 返回 True。这说明 \(8\) 是一个可行的答案，但可能不是最小的，我们应该尝试更小的值。

这个贪心策略的正确性在于：对于任何一段，我们都让它尽可能地长。这样做可以保证在满足条件的前提下，使用的总段数最少。因为延长当前段，绝不会使得后续需要的段数增加，反而可能因为“吸收”了更多元素而减少后续段数。

代码实现

结合“二分答案”的框架和“贪心验证”的 check 函数，我们可以写出完整的代码。

import sys

# n: 数列长度, m: 最多分的段数
n, m = map(int, sys.stdin.readline().split())
# 数列 a
a = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))

def check(max_sum_limit: int) -> bool:
    """
    判定函数：在每段和不超过 max_sum_limit 的前提下，
    是否能将数列分成 <= m 段。
    使用贪心策略来计算最少需要多少段。
    """
    num_segments = 1  # 段数计数器，初始为1，因为至少有1段
    current_sum = 0   # 当前段的和

    for x in a:
        # 贪心：只要当前段还能装下，就继续装
        if current_sum + x <= max_sum_limit:
            current_sum += x
        else:
            # 装不下了，必须开启新的一段
            num_segments += 1
            # 新段的第一个元素就是 x
            current_sum = x
    
    # 最终判断所需的段数是否满足要求
    return num_segments <= m

# 二分答案的下界：至少要能容纳数组中最大的那个元素
lb = max(a) 
# 二分答案的上界：最坏情况，整个数列作为一段，和为 sum(a)
ub = sum(a)

# 最终答案
ans = ub

# 标准的二分查找模板，寻找满足 check 条件的最小值
while lb <= ub:
    mid = (lb + ub) // 2
    if check(mid):
        # 如果 mid 是一个可行的解，说明真正的最优解可能更小（或就是 mid）
        # 所以我们记录下这个可行的解，并尝试在左半部分继续寻找
        ans = mid
        ub = mid - 1
    else:
        # 如果 mid 不可行，说明 mid 太小了，必须扩大范围
        # 所以最优解一定在右半部分
        lb = mid + 1

print(ans)

总结经验与易错点

在解决这类问题时，有几个非常关键且容易出错的细节需要牢记：

二分答案的下界（Lower Bound）至关重要
- 错误做法：将下界设为 \(0\) 或 \(1\)。
- 正确做法：下界 lb 必须是 max(a)。
- 原因：最终求出的“每段和的最大值”，至少要能容纳下数组中最大的那个元素。如果二分出的 mid 值比 max(a) 还小，那么那个最大的元素自身就无法放入任何一段，check(mid) 必然失败。将下界设为 max(a) 可以有效缩小搜索范围，并且避免一些潜在的逻辑错误。
check 函数中分段计数的逻辑
- 易错点：total 记录的是“切分”的次数。切分 \(k\) 次会得到 \(k+1\) 段。所以最后的判断应该是 total + 1 <= m，或者等价的 total < m。
- 更清晰的做法：如最终代码所示，直接声明一个变量 num_segments 来记录段数，初始值为 \(1\)。每当需要开启一个新段时，才将 num_segments 加一。这种方式更直观，不易出错。
check 函数中对单个元素大于限制的处理
- 虽然我们通过设置二分下界 lb = max(a) 避免了这个问题，但如果在 check 函数内部考虑，也需要注意：如果某个元素 a[i] 本身就大于 max_sum_limit，那么无论如何都无法分段。一个健壮的 check 函数应该能处理这种情况（虽然在本题的二分框架下不会发生）。

核心思想总结

遇到求解“最大值最小化”或“最小值最大化”这类问题时，应立刻联想到“二分答案”。它的本质是：

将一个复杂的“最优化问题”，转化为一个更简单的、可通过贪心等策略解决的“判定性问题”，然后通过二分查找快速锁定最优解的边界。

掌握了这个思维模式，你会发现很多看起来棘手的题目都会迎刃而解。

posted @ 2025-07-23 15:50 AFewMoon 阅读(18) 评论(0) 收藏举报

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