[数论] Codeforces 1499D The Number of Pairs

题目大意

有 \(T\) 组询问，每组询问给定三个整数 \(c,d,x\)

问有多少对 \((a,b)\) 使得 \(c\times \mathrm{lcm}(a,b) - d\times \gcd(a,b)=x\)

\((1\leq t\leq 10^4，1\leq c,d,x\leq 10^7)\)

题解

\[c\times \mathrm{lcm}(a,b) - d\times \gcd(a,b)=x\\ \]

由算术基本定理

\[a=\prod_{i=1}^m p_i^{k_i},b=\prod_{i=1}^m p_i^{k_i'}, \]

\(p_i\) 是互异素数。

则

\[\mathrm{lcm}(a,b)=\prod_{i=1}^{m}p_i^{\max\{k_i,k_i'\}}\\ \gcd(a,b)=\prod_{i=1}^{m}p_i^{\min\{k_i,k_i'\}}\\ \]

所以 \(\mathrm{lcm}(a,b)\) 必可以表示成 \(r\times \gcd(a,b)\)，其中

\[r=\prod_{i=1}^m p_i^{|k_i-k_i'|} \]

所以将 \(\mathrm{lcm}(a,b)=r\gcd(a,b)\) 代入原式，可得

\[cr\gcd(a,b)-d\gcd(a,b)=x \]

整理后可得

\[\gcd(a,b)=\frac{x}{cr-d} \]

\(c,d,x\) 都是已知的，所以我们只需要枚举 \(x\) 的所有因子 \(k\)，判断是否有 \(k+d\equiv 0\pmod c\)，然后我们知道了整数 \(r\)，设 \(r\) 的质因子数目为 \(g(r)\)，则 \(2^{g(r)}\) 就是满足 \(\mathrm{lcm}(a,b)=r\gcd(a,b)\) 的 \((a,b)\) 对数。

显然 \(g(r)\) 可以线性筛。然后枚举 \(x\) 的所有因子的时间复杂度是 \(O(\sqrt x)\) 的，共有 \(T\) 组数据，因此时间复杂度为线性筛的复杂度加上 \(O(T\sqrt x)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define RG register int
#define LL long long

vector<int> Prime;
bool not_Prime[20000005];
int f[20000010];
int c, d, x;
int T;

inline void Get_Prime(int Len) {
    not_Prime[1] = true;
    for (int i = 2;i <= Len;i++) {
        if (!not_Prime[i]) { Prime.push_back(i);f[i] = 1; }
        for (int j = 0;j < Prime.size();++j) {
            int mid = Prime[j] * i;
            if (mid > Len) break;
            not_Prime[mid] = true;
            if (i % Prime[j] == 0) { f[mid] = f[i];break; }
            f[mid] = f[i] + 1;
        }
    }
    return;
}

inline LL calc(LL r) { return 1LL << f[r]; }

void solve() {
    LL i, res = 0;
    for (i = 1;i * i < x;++i) {
        if (x % i == 0) {
            if ((i + d) % c == 0) res += calc((i + d) / c);
            if ((x / i + d) % c == 0) res += calc((x / i + d) / c);
        }
    }
    if (i * i == x) {
        if ((i + d) % c == 0) res += calc((i + d) / c);
    }
    cout << res << endl;
}

int main() {
    Get_Prime(20000000);
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> c >> d >> x;
        solve();
    }
    return 0;
}