二项式系数学习笔记
二项式系数学习笔记
1.二项式定理
\(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}\)
\(k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}\)
\(\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dotsb+\dbinom{n}{n}=2^n (n\geq 0)\)
\(\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{2}+\dotsb=\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{3}+\dots=2^{n-1} (n\geq 1)\)
\(1\dbinom{n}{1}+2\dbinom{n}{2}+\dotsb+n\dbinom{n}{n}=n2^{n-1} (n\geq 1)\)
\(1\dbinom{n}{1}+4\dbinom{n}{2}+9\dbinom{n}{3}+\dotsb+n^2\dbinom{n}{n}=n(n+1)2^{n-2} (n\geq 1)\)
二项式定理
\((x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k=\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}\)
\((1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k\)
\(((1+x)^n)^{'}=\left(\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k\right)^{'}=\sum\limits_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}x^{k-1}\)
令 \(x=1\), 得 \(n2^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}\)
如此求导操作，即可得到\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^p\dbinom{n}{k}\)相对于任何正整数\(p\)的恒等式。
\(\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^2=\dbinom{2n}{n} (n\geq 0)\) 由Vandermonde卷积即可证明。
\(\dbinom{r}{0}+\dbinom{r+1}{1}+\dotsb+\dbinom{r+k}{k}=\dbinom{r+k+1}{k} (r\in R , k\in Z)\)
Vandermonde 卷积:
对于所有的正整数 \(m_1,m_2\) 和 \(n\)，有\(\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{m_1}{k}\dbinom{m_2}{n-k}=\dbinom{m_1+m_2}{n}\)
证明 Vandermonde 卷积:
设大小为\(m_1+m_2\)的集合\(S\)，把\(S\)任意划分为\(A,B\)两集合，且\(|A|=m_1,|B|=m_2\)，则对\(S\)划分\(n\)子集等价于对 \(A\) 划分 \(k\) 子集和对 \(B\) 划分 \(n-k\) 子集，由加法原理可知， Vandermonde 卷积公式成立。
应用1: \(\sum\limits_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}^2=n\dbinom{2n-1}{n-1}\)
证明:
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}^2=\sum\limits_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{k}=n\sum\limits_{k=1}^{n}\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{n}{k}=n\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{n-k}\dbinom{n}{k}=n\dbinom{2n-1}{n}=n\dbinom{2n-1}{n-1}\)
应用2: \(\sum\limits_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{k-1}=\dbinom{2n}{n-1}\)
证明:
\(\sum\limits_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{k-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dbinom{n}{n-k}\dbinom{n}{k-1}\)
令 \(r=k-1\)，得 \(\sum\limits_{k=1}^{n}\dbinom{n}{n-k}\dbinom{n}{k-1}=\sum\limits_{r=0}^{n-1}\dbinom{n}{n-1-r}\dbinom{n}{r}=\dbinom{2n}{n-1}\)
2.二项式系数的单峰性
二项式系数的单峰性
对于正整数\(n\)，二项式系数\(\dbinom{n}{0},\dbinom{n}{1},\dbinom{n}{2},\dotsb,\dbinom{n}{n}\)中的最大者为\(\dbinom{n}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}=\dbinom{n}{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}\)。
Sperner 定理:
设 \(S\) 是 \(n\) 元素集合。\(S\)的反链是集合 \(S\) 的子集的一个集合 \(\mathcal{A}\)，其中 \(\mathcal{A}\) 中的子集不互相包含。则 \(S\) 上的一个反链最多包含\(\dbinom{n}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}=\dbinom{n}{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}\)个集合。
构造这样一个\(S\)上最大的反链的方法是取\(k=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor=\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\)，然后取 \(\mathcal{A_k}\) 为 \(S\) 所有的 \(k\) 子集。
\(S\) 的最大链的数目等于\(n!\)。
3.多项式定理
\((x_1+x_2+\dots+x_t)^n\)，多项式系数为\(\dbinom{n}{n_1,n_2,\dots,n_t}=\frac{n}{n_1!n_2!\dotsb n_t!}\)，其中\(n_1,n_2,\dots,n_t\)是非负整数且\(n_1+n_2+\dots+n_t=n\)
多项式系数的帕斯卡公式是\(\dbinom{n}{n_1,n_2,\dots,n_t}=\dbinom{n-1}{n_1-1,n_2,\dots,n_t}+\dbinom{n-1}{n_1,n_2-1,\dots,n_t}+\dotsb+\dbinom{n-1}{n_1,n_2,\dots,n_t-1}\)
多项式定理
\((x_1+x_2+\dots+x_t)^n=\sum\dbinom{n}{n_1,n_2,\dots,n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\dotsb x_t^{n_t}\)
其中
\(\dbinom{n}{n_1,n_2,\dots,n_t}=\dbinom{n}{n_1}\dbinom{n-n_1}{n_2}\dotsb\dbinom{n-n_1-\dotsb-n_{t-1}}{n_t}=\frac{n}{n_1!n_2!\dotsb n_t!}\)
