Dijkstra

Dijkstra

核心思想

遍历每一个点，找到离点最近的点

类似于bfs，把该点可以拓展的点都遍历一遍，找到距离最近的且没有被取过（被遍历过）的点，然后用这个点来更新其他的点

核心代码

//除1号结点外，其他均初始为无穷大
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
//这里进行n次迭代，是为了把n个点都按照距离从小到大的顺序放入st
    for(int i=0;i<n;i++){
        // 便于更新第一个点
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
          if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])) t=j;
        //将t加到已经取过的点中
        st[t]=true;  
        //用t更新其他点的距离
        for(int j=1;j<=n;j++)  
          dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
    }
     //路径不存在
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    else return dist[n];

以下代码的具体流程：

for(int j=1;j<=n;j++)  //用t更新其他点的距离
          dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);

首先我们找点第一个点，假设这个点是第一个点，那么这个循环就不会被执行，因为这个t类似于中间点，

1 --> 2 dist = 10

1 --> t dist = 5

t --> 2 dist = 2

dist[2] = min(dist[2],dist[t] + g [t] [2]),其中g (t,2)代表 点 t 到点 2的距离

dist (t) 表示 起点 到 t 的距离

邻接矩阵实现 [题目链接][849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

int g[1010][1010];
int n,m;

bool st[N];
int dist[N];

void dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[1] = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++){
        int t = -1;
        for (int j = 1;j <= n;j++){
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])){
                t = j;
            }
        }
        st[t] = true;
        for (int j = 1;j <= n;j++){
            dist[j] = min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
        }
    }
}

int main(){
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++){
        int a,b,c;
        cin >> a >> b >>c;
        g[a][b] = min(g[a][b],c);
    }
    dijkstra();
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)cout << -1 << endl;
    else
        cout << dist[n] <<endl;
}

链式前向星实现

链式前向星：

ll e[N],ne[N],h[N],w[N],idx;
//e[] 存放下一个节点
// ne[] 为下一个边的起点
// w[] 存放两条边之间的权重
// h[] 存放该节点
// idx 记录总的边数 相当于给每个边一个编号 

void add(ll a,ll b,ll c){
    //记录节点与a链接的节点b，点与点之间的权重为c 
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    //下一个节点为h[]，也就是
    ne[idx] = h[a];
    //更新h[a] 表示添加边的位置
    h[a] = idx++;
}                        

朴素版

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

int n,m;
int dist[N];
bool st[N];
int e[N],ne[N],h[N],idx,w[N];


void add(int a,int b,int c){
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

void dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[1] = 0;
    for (int i = 1;i <= n; i++){
            int t = -1;
        for (int j = 1;j <= n;j++){
            
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])){
                t = j;
            }
        }
        st[t] = true;
        //k是j的直达点，
        //t是j到k的中间点
        //二者取较小值
        for (int j = h[t];j != -1;j = ne[j]){
            int k = e[j];
            dist[k] = min(dist[k],dist[t]+w[j]);
        }
    }
}

int main(){
    memset(h,-1,sizeof(h));
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m; i++){
        int a,b,c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a,b,c);
    }

    dijkstra();
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)cout << -1 << endl;
    else cout << dist[n] << endl;
    return 0;
}

堆优化 [题目链接](850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <queue>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>PII;
const int N = 1e6+10;

int n,m,dist[N];
bool st[N];
int h[N],ne[N],e[N],w[N],idx;

void add(int a,int b,int c){
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

void dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    //通过有限队列对dij进行优化，每次取距离最近的点
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>q;
    dist[1] = 0;
    //第一个参数是距离，第二是节点
    q.push({0,1});
    while (q.size()){
        PII t = q.top();
        q.pop();
        int v = t.second,d = t.first;
        if (st[v])continue;
        st[v] = true;
        for (int i = h[v];i != -1;i = ne[i]){
            int j = e[i];
 	    //如果距离大于，中间点加上一条边的距离那就把，距离更新并与点加入队列
            if(dist[j] > d + w[i]){
                dist[j] = d + w[i];
                q.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
}

int main(){
    memset(h,-1,sizeof(h));
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++){
        int a,b,c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a,b,c);
    }
    dijkstra();
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f)cout <<-1 << endl;
    else cout <<  dist[n] << endl;
    return 0;
}

[[849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库]: