关于扩展欧几里得

给出两个整数a,b

扩展欧几里得可以求出gcd(a,b),并且能顺带算出一组特解(x,y),

使ax+by=gcd(a,b)。

其实扩展欧几里得算法就是收集辗转相除法中产生的式子,倒回去,可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

原理如下:

设a=r0,b=r1

那么根据辗转相除法,

r0=q1*r1+r2     (即a=q1*b+r2)

r1=q2*r2+r3

r2=q3*r3+r4

.......

rk-4=qk-3*rk-3+rk-2

rk-3=qk-2*rk-2+rk-1

rk-2=qk-1*rk-1+rk

rk-1=qk*rk+0,最后一式

那么rk=gcd(a,b),这就是辗转相除法,

把上面的k个式子移项,得

r2=r0 - q1*r1   (即r2=a-q1*b)

r3=r1 - q2*r2

r4=r4 - q3*r3

.......

rk-2=rk-4 - qk-3*rk-3

rk-1=rk-3 - qk-2*rk-2

rk=rk-2 - qk-1*rk-1

0=rk-1 - qk*rk      
对于倒数第二个式子rk=rk-2-qk-1*rk-1令xk-1=1,yk-1= -qk-1

那么倒数第二式变为 rk=xk-1*rk-2 + yk-1*rk-1

把倒数第三个式子rk-1=rk-3 - qk-2*rk-2代入上式消去rk-1,得

rk=yk-1*rk-3 + (xk-1 - yk-1*qk-2)*rk-2,与式rk=xk-2*rk-3 + yk-2*rk-2 对比系数可知,

xk-2=yk-1

yk-2=xk-1 - yk-1 * qk-2,其中 qk-2 = rk-3 / rk-2



 

然后重复上面的过程,依次把倒数第四,五......k个式子代入倒数第二个式子,

便可以依次消去rk-1,rk-2,......r2,而剩下r0和r1

即把rk表示成a和b的线性组合,rk=x1*a + y1*b,这样便求出了一组特解(x,y)。

可以概括为一句话:收集辗转相除法中产生的式子,从后往前逐一代,就可将

rk表示成a和b的线性组合

下面是扩展gcd的程序

#include<cstdio>
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;//好像只要y是a的倍数都行 
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;//这里注意y=t-y*a/b是错的 
    printf("x=%d,y=%d\n",x,y);
    return r;
}

int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    /*exgcd(a,b)求出gcd(a,b),
    并且求出一组特解(x,y)使ax+by=gcd(a,b) */
    int r=exgcd(a,b,x,y);
    printf("x=%d,y=%d,gcd(%d,%d)=%d\n",x,y,a,b,r);
    return 0;
}
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递归的终止条件为

if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }

为什么终止后x=1,y=0呢?(后来发现只要y是a的倍数好像都行,暂时没有证明)

其实就是这个程序运行到了下面最后一条式子:

r2=r0 - q1*r1   (即r2=a-q1*b)

r3=r1 - q2*r2

r4=r4 - q3*r3

.......

rk-2=rk-4 - qk-3*rk-3

rk-1=rk-3 - qk-2*rk-2

rk=rk-2 - qk-1*rk-1

0=rk-1 - qk*rk      

r=rk - qk+1*0,      比上面人工算多出一条式子递归出口,这里r=gcd(a,b)

运行到这里程序中的b==0,然后赋值x=1,y=0,

赋值x=1,y=0的原因:

x=1,y=0实际上就是上面的xk+1=1,yk+1=0,

我们来推导一下,

根据推导的公式

xk-2=yk-1

yk-2=xk-1 - yk-1 * qk-2

可以得到xk=yk+1=0,yk=xk+1 - yk+1*qk=1 - 0*qk=1,

继续倒推xk-1=yk=1,yk-1 = xk - yk*qk-1 = 0 - 1*qk-1 = - qk-1

这里跟上面的设定“令xk-1=1,yk-1= -qk-1”一致,

因此可以赋值x=1,y=0。

只要把上面的过程自己用笔推导一遍就可以理解扩展gcd了。

 

posted @ 2018-04-07 20:22  ACRykl  阅读(216)  评论(1编辑  收藏  举报