关于快速沃尔什变换(FWT)的一点学习和思考

  最近在学FWT,抽点时间出来把这个算法总结一下。

 

  快速沃尔什变换(Fast Walsh-Hadamard Transform),简称FWT。是快速完成集合卷积运算的一种算法。

  主要功能是求:,其中为集合运算符。

  就像FFT一样,FWT是对数组的一种变换,我们称数组X的变换为FWT(X)。

  所以FWT的核心思想是:

    为了求得C=A★B,我们瞎搞搞出一个变换FWT(X),

    使得FWT(C)=FWT(A)  FWT(B),然后根据FWT(C)求得C。

    (其中★表示卷积运算,表示将数组对应下标的数相乘的运算)

    也就是说我们可以通过FWT(X)变换把复杂度O(n^2)的★运算变为O(n)的运算。

  跟FFT是完全相同的。所以我们考虑怎么搞出这个FWT(X)。

 

  与运算(&)和或运算(|)最容易理解,我们先讲讲这两个怎么搞。我们以或运算为例。

  若 x | y = z,那么x和y一定满足二进制中的1为z的子集。

  所以我们可以令FWT(A)=A',其中。(“i | j = i”就是表示“j满足二进制中的1为i的子集”)

  (虽然以上两行根本构不成逻辑,但是请相信这个定义就是正确的)

  于是我们就有C'=A'  B',从这些数组的定义来看,这个式子确实是正确的。

  然后我们就要研究一下FWT(A)也就是A'怎么求。当然不能枚举 i 的子集,这样复杂度太高。

  既然是二进制的,我们不妨考虑用分治进行计算。(为毛是二进制就要用分治啊喂!)

  我们设A0为A的前一半,A1为A的后一半,如果A的长度为2^k,那么A0、A1的长度为2^(k-1)。

  如果我们知道了FWT(A0)和FWT(A1),那么FWT(A)是不是就可以求了呢?当然可以。

    FWT(A)的前一半相当于二进制位的第k位填了0,那么是它子集的仍然只有FWT(A0) (它本身);

    FWT(A)的后一半相当于二进制位的第k位填了1,那么是它子集的不仅仅有FWT(A1) (它本身),还有FWT(A0)。

  那么转移就出来了,

  其中merge(X,Y)为X和Y两个数组接在一起,  表示将数组对应下标的数相加的运算。

  这样我们就在O(2^k*k)也就是O(nlogn)的时间内求出了FWT(A)。

  还有一个问题,我们怎么通过FWT(C)求得C?

  这不就是FWT()的逆变换吗?根据转移方程,你难道不会倒着推回来吗?

  这其实就相当于你知道了A0'、A1',然后要求得A0、A1。

  因为我们已经知道了A0'=A0,A1'=A1+A0,所以我们就有A0=A0',A1=A1'-A0'。

  所以:

    

 

  既然知道了或运算,与运算也是一样的,因为与运算和或运算本质是相同的。

  读者可以试着自己推一遍,再继续往下看:

    

    

 

  然后就是鬼畜的异或,先说结论:

    

    

  一种比较靠谱的说法是,其中d(x)为x的二进制中1的个数。

  先想一想再往下看吧~

  然后你可能会想,与和或本质上不是相同的吗?

  然后就有,其中d'(x)为x的二进制(到第k位为止)中0的个数。

  然后就有

      

  然后结果是一毛一样的。

  (其实就是把整个数组倒过来而已)

  所以又回到FWT的核心思想:

    为了求得C=A★B,我们瞎搞搞出一个变换FWT(X),

    使得FWT(C)=FWT(A)  FWT(B),然后根据FWT(C)求得C。

  所以我们只要找到运算中,数字x的一个特征FWT(x),满足FWT(x  y)=FWT(x)*FWT(y)。这个特征就是FWT啦~

  怎么样,是不是给你一种“我上我也行”的感觉?

  然后你试图寻求异或FWT的更简单的公式:

  然后你开始脑补:

  然后惊喜地发现正好满足 FWT(C)=FWT(A)  FWT(B) !

  然后你开始写转移公式:

    

    

    

  (以上18行都是小C在口胡)

 

  到底有没有靠谱的做法呢?小D说他有一种解方程的做法。

  为了不失一般性,假设A、B、C数组的长度为2。C=A★B,为异或卷积运算。

  然后显然C[0] = A[0]*B[0] + A[1]*B[1]  , C[1] = A[0]*B[1] + A[1]*B[0]。

  然后我们开始变形了!由于(我们猜想)FWT(A)一定是a*FWT(A0) + b*FWT(A1)的形式,所以:

    设A'[0] = a*A[0] + b*A[1],A'[1] = c*A[0] + d*A[1]。

    B和C同理,因为小C知道列一大堆方程出来肯定没人看所以小C就不列出来了。

  然后就有C'[0] = A'[0]*B'[0]。解方程,得:

  因为a,b不同时等于0,所以a=1,b=±1。同理,c=1,d=±1。

  (由于解方程过程中有很多槽点所以小C也不能保证正确性)

  然后究竟是+1还是-1呢?小D给的说法是“枚举,check一下”。

  check个鬼啊(╯‵□′)╯︵┻━┻!这个做法槽点真的太多了好吗?

  不过能够得出正确答案是真的。

posted @ 2017-12-11 17:39  ACMLCZH  阅读(6879)  评论(5编辑  收藏  举报